Координатный метод в планиметрии

Зачем это нужно

Многие геометрические задачи требуют догадки: дополнительного построения, удачного подобия, нужного вспомогательного угла. Метод координат предлагает другой путь: ввести систему координат, записать условие уравнениями и просто считать. Рене Декарт, придумавший этот метод в 1637 году, говорил, что он превращает геометрию в алгебру. Так работают системы навигации, программы для черчения и компьютерные игры. В задачах ЕГЭ координатный метод часто спасает, когда «геометрическая» идея не приходит в голову.

Основные формулы

Для точек $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$:

Угловой коэффициент $k$ — тангенс угла наклона прямой к оси $x$. Прямые $y = k_1x + m_1$ и $y = k_2x + m_2$ параллельны при $k_1 = k_2$ и перпендикулярны при $k_1k_2 = -1$.

Разобранный пример 1

Найдите уравнение прямой через $A(1; 1)$ и $B(3; 5)$ и перпендикуляра к ней через $C(0; 3)$.

1. $k = \frac{5 - 1}{3 - 1} = 2$, прямая $y = 2x + m$; через $A$: $1 = 2 + m$, $m = -1$. Итак, $y = 2x - 1$.
2. Перпендикуляр: $k' = -\frac{1}{2}$, через $C$: $y = -\frac{1}{2}x + 3$.

Разобранный пример 2

Найдите расстояние от $M(3; 4)$ до прямой $3x + 4y - 5 = 0$. $d = \frac{|9 + 16 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{20}{5} = 4$.

Площадь треугольника по координатам

Для треугольника с вершинами $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, $(x_3; y_3)$:

$S = \frac{1}{2}\left|(x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1)\right|.$

Разобранный пример 3

Вершины $(4; 0)$, $(8; 0)$, $(5; 3)$. $S = \frac{1}{2}|4 \cdot 3 - 1 \cdot 0| = 6$. Проверка: основание 4, высота 3.

Решение задач методом координат

Главное — удачно выбрать систему координат: поместить начало в вершину или центр симметрии, оси — вдоль сторон или осей симметрии. Тогда у многих точек будут нулевые координаты, а вычисления станут заметно короче.

Разобранный пример 4 («британский флаг»)

Докажите: для любой точки $P$ и прямоугольника $ABCD$ выполняется $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$.

1. Пусть $A(0; 0)$, $B(a; 0)$, $C(a; b)$, $D(0; b)$, $P(x; y)$.
2. $PA^2 + PC^2 = x^2 + y^2 + (x - a)^2 + (y - b)^2$.
3. $PB^2 + PD^2 = (x - a)^2 + y^2 + x^2 + (y - b)^2$ — то же самое. ∎

Разобранный пример 5

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Пусть $C(0; 0)$, $A(2a; 0)$, $B(0; 2b)$. Середина гипотенузы $M(a; b)$, $CM = \sqrt{a^2 + b^2}$, а $AB = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = 2\sqrt{a^2 + b^2}$. Значит, $CM = \frac{AB}{2}$. ∎

Прямая и окружность

Чтобы найти общие точки прямой и окружности, решают систему из двух уравнений. А число общих точек проще определить, сравнив расстояние $d$ от центра до прямой с радиусом $R$: при $d < R$ две точки, при $d = R$ одна (прямая — касательная), при $d > R$ ни одной.

Разобранный пример 6

Найдите точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 25$ и прямой $y = x + 1$.

1. Подставляем: $x^2 + (x + 1)^2 = 25$, $2x^2 + 2x - 24 = 0$, $x^2 + x - 12 = 0$.
2. $x = 3$ или $x = -4$, откуда точки $(3; 4)$ и $(-4; -3)$.

Разобранный пример 7

При каких $c$ прямая $3x + 4y + c = 0$ касается окружности $x^2 + y^2 = 25$?

Расстояние от центра $(0; 0)$ до прямой равно $\frac{|c|}{5}$. Касание: $\frac{|c|}{5} = 5$, то есть $c = \pm 25$.

Алгоритм метода координат

1. Выберите систему координат так, чтобы как можно больше точек имели нулевые координаты, а фигура была симметрична относительно осей.
2. Запишите координаты всех данных точек, обозначив неизвестные длины буквами.
3. Переведите условие и вопрос задачи на язык формул: расстояния, уравнения прямых и окружностей, условия перпендикулярности.
4. Выполните вычисления.
5. Переведите ответ обратно на язык геометрии.

Когда метод неудобен. Если в задаче много углов и окружностей, вписанных в многоугольники, координаты часто приводят к громоздким выражениям с корнями. Тогда лучше классическая геометрия или векторы. Хороший математик выбирает метод под задачу.

Немного истории

Рене Декарт изложил метод координат в приложении «Геометрия» к своему «Рассуждению о методе» (1637). Независимо от него к тем же идеям пришёл Пьер Ферма. Слово «координаты» ввёл Готфрид Лейбниц, а сами оси стали рисовать перпендикулярными уже после Декарта. Сегодня декартовы координаты — основа компьютерной графики: каждый пиксель экрана задаётся парой чисел.

Типичные ошибки

• Неудачно выбирать оси, получая громоздкие вычисления.
• Забывать модуль в формуле расстояния от точки до прямой.
• Путать условия параллельности ($k_1 = k_2$) и перпендикулярности ($k_1k_2 = -1$).
• Применять угловой коэффициент к вертикальной прямой $x = c$, у которой его нет.
• Терять квадрат в уравнении окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, а не $R$.

Что дальше

• Векторный метод в планиметрии — векторный метод в планиметрии.
• Координатно-векторный метод в пространстве — метод координат в пространстве.