Векторный метод в планиметрии

Зачем это нужно

Векторы — универсальный язык геометрии. С их помощью параллельность записывается равенством $\vec{a} = k\vec{b}$ , перпендикулярность — равенством $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ , а точки пересечения медиан и середины отрезков — простыми формулами. Многие теоремы, требующие хитрых построений, векторами доказываются в несколько строк, причём без выбора системы координат. Векторный метод — надёжный мост между планиметрией, стереометрией и физикой, где силы и скорости складываются точно так же.

Инструменты векторного метода

Геометрический факт	Векторная запись
$AB \parallel CD$ (или на одной прямой)	$\vec{AB} = k\vec{CD}$
$AB \perp CD$	$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$
$M$ — середина $AB$	$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$
$P$ делит $AB$ в отношении $m : n$	$\vec{OP} = \frac{n\vec{OA} + m\vec{OB}}{m + n}$
$G$ — точка пересечения медиан $\triangle ABC$	$\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$
длина и угол	$\lvert\vec{a}\rvert^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$ , $\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert}$

Здесь $O$ — любая точка (полюс), от которой откладываются векторы; результат от её выбора не зависит.

Как читать таблицу. Первые две строки переводят на векторный язык параллельность и перпендикулярность. Следующие три — положение точек: середины, точки деления отрезка в данном отношении и точки пересечения медиан. Последняя строка позволяет вычислять длины и углы. Если запомнить эти шесть формул, большинство задач на доказательство сводится к аккуратным алгебраическим преобразованиям, без дополнительных построений.

Теорема Вариньона

Произвольный четырёхугольник ABCD, середины сторон M, N, P, Q образуют зелёный параллелограмм; синий вектор MN и красный QP равны и параллельны диагонали AC

Теорема. Середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма.

Доказательство. $\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$ . Аналогично $\vec{QP} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$ . Значит, $\vec{MN} = \vec{QP}$ : противоположные стороны четырёхугольника $MNPQ$ равны и параллельны. ∎

Примеры

Разобранный пример 1 (диагонали ромба)

Докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ , $\vec{AD} = \vec{b}$ , $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ . Диагонали: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$ , $\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$ . Их скалярное произведение $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$ . ∎

Разобранный пример 2 (длина медианы)

Выразите медиану $m_a$ треугольника через стороны.

$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ . Возведём в квадрат: $m_a^2 = \frac{1}{4}(c^2 + b^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{AC})$ . По теореме косинусов $2\vec{AB} \cdot \vec{AC} = b^2 + c^2 - a^2$ . Итак,

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}.$

Для треугольника со сторонами 5, 5, 6 медиана к стороне 6: $m^2 = \frac{50 + 50 - 36}{4} = 16$ , $m = 4$ .

Разобранный пример 3 (медианы)

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2 : 1$ .

Точка $G$ с $\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$ делит медиану $AM$ в отношении $2 : 1$ : по формуле деления отрезка $\frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}(\vec{OB} + \vec{OC})$ . Выражение симметрично, поэтому та же точка лежит на всех трёх медианах. ∎

Разобранный пример 4 (угол)

Найдите угол между векторами $\vec{a}(1; 2)$ и $\vec{b}(3; 1)$ .

$\cos\varphi = \frac{3 + 2}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\varphi = 45^\circ$ .

Разобранный пример 5 (средняя линия трапеции)

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ . Докажите, что $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$ .

Запишем $\vec{MN}$ двумя путями: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$ и $\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}$ . Сложим: так как $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$ и $\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}$ , получаем $2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC}$ . Отсюда сразу следуют и параллельность средней линии основаниям, и формула её длины $\frac{a + b}{2}$ .

Разобранный пример 6 (тождество параллелограмма)

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (a^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + b^2) + (a^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + b^2) = 2a^2 + 2b^2$ . ∎ Например, у параллелограмма со сторонами 3 и 4 и диагональю 5 вторая диагональ равна $\sqrt{2 \cdot 9 + 2 \cdot 16 - 25} = 5$ — это прямоугольник.

Векторы или координаты?

Векторный метод не требует выбора осей и хорошо подходит для утверждений о параллельности, отношениях отрезков, серединах и точках пересечения медиан: они записываются линейными комбинациями. Скалярное произведение добавляет длины и углы. Координатный метод удобнее, когда нужно найти конкретные числа или уравнения прямых и окружностей. На практике методы часто совмещают: векторы задают координатами и считают скалярные произведения по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$ .

Немного истории

Понятие вектора выросло из механики: ещё Аристотель и Стевин складывали силы по правилу параллелограмма. Современное векторное исчисление создали в XIX веке Уильям Гамильтон, Герман Грассман и Джозайя Гиббс. Слово «вектор» (от латинского «несущий») ввёл Гамильтон.

Алгоритм

Выберите два неколлинеарных базисных вектора (обычно две стороны из одной вершины).
Выразите через них все нужные векторы.
Запишите условие и требуемое утверждение векторными равенствами.
Преобразуйте, используя свойства действий и скалярного произведения.
Переведите результат на язык геометрии.

Типичные ошибки

Путать вектор $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ (знак).
Считать, что из $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ следует, что один из векторов нулевой.
Забывать, что $|\vec{a} + \vec{b}| \ne |\vec{a}| + |\vec{b}|$ .
Неверно применять формулу деления отрезка: веса стоят «накрест».
Выбирать коллинеарные базисные векторы.

Что дальше

Векторная оптимизация в геометрии — векторы в задачах на экстремум.
Векторы в пространстве — векторы в пространстве.