Площади сечений и проекции

Зачем это нужно

Построить сечение — половина дела; в задачах ЕГЭ обычно нужно ещё найти его площадь. Сделать это помогают три идеи: подобие сечений, параллельных основанию; формула площади проекции; разбиение сечения на знакомые фигуры. Те же идеи используют инженеры, когда рассчитывают тень здания или площадь солнечной панели, «видимую» солнцем, и врачи, сравнивая срезы органов на томограммах.

Сечения, параллельные основанию

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию. Коэффициент подобия равен отношению расстояний от вершины: $k = \frac{d}{h}$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента:

$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}} = \left(\frac{d}{h}\right)^2.$

Разобранный пример 1

Площадь основания пирамиды 36. Найдите площадь сечения, параллельного основанию и проходящего через середину высоты. $k = \frac{1}{2}$, $S = 36 \cdot \frac{1}{4} = 9$.

Разобранный пример 2

Высота пирамиды разделена на три равные части, через ближайшую к вершине точку деления проведено сечение, параллельное основанию. Площадь основания 45. Найдите площадь сечения. $k = \frac{1}{3}$, $S = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5$.

Для призмы всё ещё проще: сечение, параллельное основанию, равно основанию. А в усечённой пирамиде площадь сечения, параллельного основаниям, удобно находить, достроив её до полной пирамиды: тогда снова работает подобие с вершиной в общей точке боковых рёбер.

Площадь ортогональной проекции

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между их плоскостями:

$S_{\text{пр}} = S \cos\varphi.$

Идея доказательства. Для треугольника, одна сторона которого лежит на линии пересечения плоскостей, проекция сохраняет эту сторону, а высоту умножает на $\cos\varphi$ (это линейный угол). Любой многоугольник разбивается на такие треугольники.

Важно, что проекция никогда не больше самой фигуры: косинус не превосходит единицы. Формулу удобно применять «наоборот»: зная площадь проекции и угол, найти площадь сечения: $S = \frac{S_{\text{пр}}}{\cos\varphi}$.

Разобранный пример 3

Квадрат со стороной 6 наклонён к плоскости под углом $60^\circ$. Найдите площадь его проекции. $36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.

Разобранный пример 4

Ребро куба 2. Найдите площадь сечения $ACB_1$.

Способ 1. Сечение — равносторонний треугольник со стороной $2\sqrt{2}$: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8 = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$.

Способ 2 (проекция). Проекция сечения на основание — треугольник $ABC$ площадью 2. Косинус угла между плоскостями $ACB_1$ и $ABC$ равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$: линейный угол — угол $B_1OB$, где $O$ — центр квадрата, $BO = \sqrt{2}$, $BB_1 = 2$, $B_1O = \sqrt{6}$, и $\cos = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$. Значит, $S = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. Ответы совпали.

Сечения, проходящие через высоту

Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — треугольник с основанием $a\sqrt{2}$ (диагональ основания) и высотой $h$ пирамиды: $S = \frac{a\sqrt{2} \cdot h}{2}$. Диагональное сечение куба — прямоугольник $a \times a\sqrt{2}$, его площадь $a^2\sqrt{2}$.

Разобранный пример 5

Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 4, высота 6. Найдите площадь диагонального сечения. $\frac{4\sqrt{2} \cdot 6}{2} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97$.

Какое сечение куба самое большое

Сравним площади сечений куба с ребром $a$. Сечение, параллельное грани, — квадрат площадью $a^2$. Правильный треугольник $ACB_1$ имеет площадь $\frac{\sqrt{3}}{2}a^2 \approx 0{,}87a^2$. Правильный шестиугольник через середины шести рёбер — $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 \approx 1{,}30a^2$. А диагональное сечение $AA_1C_1C$ — прямоугольник площадью $\sqrt{2}a^2 \approx 1{,}41a^2$: оно и есть наибольшее. Интуиция подсказывает, что «самым большим» должен быть шестиугольник, но точный расчёт показывает обратное.

Тени и проекции

Тень предмета при свете далёкого источника (Солнца) — это параллельная проекция. Если лучи падают отвесно, тень горизонтальной площадки равна её площади, а тень наклонной крыши — площади крыши, умноженной на косинус угла наклона. Поэтому для расчёта снеговой нагрузки на крышу используют площадь её горизонтальной проекции: снег падает вертикально.

Стратегия

1. Постройте сечение и определите его форму.
2. Если сечение параллельно основанию — используйте подобие.
3. Если это знакомая фигура (треугольник, прямоугольник, трапеция) — найдите её элементы из прямоугольных треугольников.
4. Если фигура сложная, но легко найти проекцию и угол — используйте $S = \frac{S_{\text{пр}}}{\cos\varphi}$.
5. Проверьте ответ вторым способом, если возможно.

Типичные ошибки

• Считать отношение площадей равным отношению расстояний, а не его квадрату.
• Умножать на синус вместо косинуса в формуле проекции.
• Брать угол между плоскостями, не построив линейный угол.
• Путать сечение, параллельное основанию, с наклонным сечением.
• Забывать, что проекция не может быть больше самой фигуры.

Что дальше

• Объёмы тел — объёмы: сечения и площади нужны для вычисления объёмов.
• Сечения многогранников и тел вращения — сложные сечения многогранников и тел вращения.