Объёмы тел

Зачем это нужно

Сколько бетона нужно на фундамент, сколько воды вмещает бассейн или цистерна, сколько зерна поместится в конический бурт, какова масса металлического шара? Все эти задачи сводятся к вычислению объёма. В 9 классе мы познакомились с формулами объёмов; теперь выведем их строго, научимся применять в сложных задачах и увидим, как интеграл позволяет находить объём любого тела.

Свойства объёма

Объём — положительная величина, у равных тел объёмы равны, а если тело составлено из частей, его объём равен сумме объёмов частей. За единицу принимают куб с ребром 1.

Принцип Кавальери. Если два тела можно расположить так, что любая горизонтальная плоскость пересекает их по фигурам равной площади, то объёмы тел равны. Наглядно: стопка монет, ровная или скошенная, имеет один и тот же объём. Отсюда объём наклонной призмы равен объёму прямой с тем же основанием и высотой.

Объёмы призмы и цилиндра

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h, \qquad V_{цилиндра} = \pi R^2 h.$

Объёмы пирамиды и конуса

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h, \qquad V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 h.$

Куб можно разрезать на три равные пирамиды с общей вершиной — отсюда множитель $\frac{1}{3}$. Проверить это легко опытом: конус, заполненный песком, нужно высыпать в цилиндр с тем же основанием и высотой ровно три раза. Усечённый конус: $V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$.

Разобранный пример 1

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной 6, высота 4. Найдите объём.

$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$.

Разобранный пример 2

Найдите объём правильного тетраэдра с ребром 6.

1. Площадь основания (правильный треугольник): $\frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.
2. Высота падает в центр основания, удалённый от вершины на $\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$; $h = \sqrt{36 - 12} = 2\sqrt{6}$.
3. $V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 18\sqrt{2} \approx 25{,}5$.

Разобранный пример 3

Конус с $R = 3$ и $h = 4$. Найдите объём.

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37{,}7$.

Объём шара и его частей

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3.$

Шаровой сегмент высотой $h$ (часть шара, отсечённая плоскостью): $V = \pi h^2\left(R - \frac{h}{3}\right)$. Шаровой сектор: $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$.

Теорема Архимеда. Если взять конус, шар и цилиндр с одинаковым радиусом $R$ и высотой $2R$, их объёмы относятся как $1 : 2 : 3$.

Разобранный пример 4

Найдите объём и площадь поверхности шара радиуса 3.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$; $S = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$. Численно равны — совпадение только при $R = 3$.

Объёмы через интеграл

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$, равна $S(x)$, то

$V = \int_a^b S(x)\,dx.$

Это строгая форма принципа Кавальери: тело «нарезается» на тонкие слои толщиной $dx$.

Разобранный пример 5

Выведите формулу объёма шара.

Сечение шара на расстоянии $x$ от центра — круг радиуса $\sqrt{R^2 - x^2}$, его площадь $\pi(R^2 - x^2)$.

$V = \int_{-R}^{R} \pi(R^2 - x^2)\,dx = \pi\left(R^2 x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-R}^{R} = \pi\left(2R^3 - \frac{2R^3}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3.$

Аналогично для пирамиды: сечение на расстоянии $x$ от вершины подобно основанию с коэффициентом $\frac{x}{h}$, его площадь $S\frac{x^2}{h^2}$, и $\int_0^h S\frac{x^2}{h^2}\,dx = \frac{1}{3}Sh$.

Объёмы подобных тел

Если все размеры увеличить в $k$ раз, объём увеличится в $k^3$ раз.

Разобранный пример 6

Конический бокал наполнен до половины высоты. Какая часть объёма заполнена?

Налитая жидкость — конус, подобный бокалу, с $k = \frac{1}{2}$. Её объём $\frac{1}{8}$ бокала — всего 12,5 %!

Разобранный пример 7

Восемь одинаковых металлических шариков радиуса 1 переплавили в один шар. Найдите его радиус.

$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \cdot \frac{4}{3}\pi$, $R^3 = 8$, $R = 2$.

Объём на практике

Объём связывает геометрию с физикой: масса тела $m = \rho V$. Помните единицы: $1$ л $= 1$ дм³ $= 1000$ см³, $1$ м³ $= 1000$ л. Например, стальной шар диаметром 10 см ($\rho = 7{,}8$ г/см³) имеет объём $\frac{4}{3}\pi \cdot 125 \approx 524$ см³ и массу около 4 кг. При решении практических задач сначала переведите все размеры в одни единицы, затем выберите формулу и только в конце округляйте.

Немного истории

Формулу объёма пирамиды знали ещё в Древнем Египте (Московский математический папирус, около 1850 г. до н. э., даёт даже объём усечённой пирамиды). Строго доказал её Евдокс методом исчерпывания. Архимед вывел объём шара и завещал изобразить на своём надгробии шар, вписанный в цилиндр. Цицерон, будучи квестором в Сиракузах, нашёл заросшую могилу именно по этому рисунку.

Типичные ошибки

• Забывать множитель $\frac{1}{3}$ для пирамиды и конуса.
• Подставлять в формулу пирамиды боковое ребро или апофему вместо высоты.
• Считать, что при удвоении размеров объём удваивается (на самом деле растёт в 8 раз).
• Путать формулы объёма шара ($\frac{4}{3}\pi R^3$) и площади сферы ($4\pi R^2$).

Что дальше

• Площади и объёмы через интеграл — площади и объёмы через интеграл.