Тетраэдр и параллелепипед. Построение сечений

Зачем это нужно

Если разрезать кубик сыра ножом, на срезе получится многоугольник — сечение. Его форма зависит от того, как идёт разрез: треугольник, квадрат, прямоугольник, пятиугольник и даже правильный шестиугольник. Умение строить сечения — главный практический навык стереометрии. Им пользуются инженеры, читая чертежи деталей, врачи, разглядывая снимки томографии (это тоже сечения тела), и школьники на ЕГЭ, где почти каждая задача по стереометрии начинается с построения сечения.

Тетраэдр и параллелепипед

Тетраэдр $DABC$ — многогранник из четырёх треугольных граней. У него 4 вершины, 6 рёбер; рёбра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — многогранник из шести граней-параллелограммов. Его свойства:

1. противоположные грани параллельны и равны;
2. четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Куб и прямоугольный параллелепипед — частные случаи. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны, и квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Например, у кирпича $25 \times 12 \times 6$ см диагональ около 28,4 см.

Правила построения сечений

Секущая плоскость — плоскость, по обе стороны от которой есть точки многогранника. Сечение — многоугольник, стороны которого — отрезки пересечения секущей плоскости с гранями.

1. Две точки секущей плоскости, лежащие в одной грани, соединяют отрезком.
2. Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то отрезки сечения на них параллельны.
3. Метод следов. Если в грани есть только одна известная точка сечения, продлевают уже построенную сторону сечения до пересечения с прямой, содержащей ребро этой грани. Полученная точка (точка следа) лежит и в секущей плоскости, и в плоскости грани — через неё и известную точку проводят следующую сторону.

Сечение тетраэдра — треугольник или четырёхугольник, сечение параллелепипеда — от треугольника до шестиугольника (граней 6, поэтому сторон не больше шести).

Разобранный пример 1

Тетраэдр DABC, точки M, N, K — середины DA, DB, DC. Стороны основания 6, 8, 10. Найдите периметр сечения MNK.

MN, NK, KM — средние линии боковых граней, каждая равна половине стороны основания. Периметр $\frac{6 + 8 + 10}{2} = 12$. Плоскость MNK параллельна основанию (две пересекающиеся прямые MN и NK параллельны AB и BC).

Разобранный пример 2

Сечение правильного тетраэдра с ребром $a$ проходит через середины рёбер AB, BC, CD, DA. Какая фигура получилась?

Каждая сторона — средняя линия грани: две стороны параллельны AC и равны $\frac{a}{2}$, две другие параллельны BD и тоже равны $\frac{a}{2}$. Получается ромб, а так как в правильном тетраэдре противоположные рёбра перпендикулярны, — квадрат со стороной $\frac{a}{2}$.

Разобранный пример 3

В кубе с ребром 2 постройте сечение через вершины A, C, B₁ и найдите его периметр.

Все три точки соединяются по граням: AC, CB₁, B₁A — диагонали граней, каждая $2\sqrt{2}$. Сечение — равносторонний треугольник, периметр $6\sqrt{2} \approx 8{,}49$.

Разобранный пример 4

Сечение куба с ребром $a$ через середины шести рёбер (рисунок справа). Каждая сторона — отрезок, соединяющий середины соседних рёбер одной грани, длина $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Все стороны и углы равны: это правильный шестиугольник.

Метод следов на примере

Пусть на рёбрах $AA_1$, $BB_1$ куба взяты точки M и N, а на ребре $CC_1$ — точка K, причём MN не параллельна AB.

1. M и N лежат в грани $AA_1B_1B$ — соединяем.
2. N и K лежат в грани $BB_1C_1C$ — соединяем.
3. Продлеваем MN до пересечения с прямой AB в точке X — это точка следа на плоскости основания.
4. Аналогично NK пересекает прямую BC в точке Y. Прямая XY — след секущей плоскости на плоскости основания.
5. Дальше по следу находят точки сечения на остальных рёбрах.

Типичные ошибки

• Соединять точки, лежащие в разных гранях, отрезком «сквозь» многогранник.
• Забывать, что на параллельных гранях стороны сечения параллельны.
• Искать точку следа на прямой ребра, которая не лежит в нужной грани.
• Считать, что сечение куба может быть семиугольником.
• Рисовать невидимые стороны сечения сплошными.

Что дальше

• Площади сечений и проекции — площади сечений и проекций.
• Многогранники — многогранники подробно.