Прямоугольные треугольники

Зачем это нужно

Прямоугольный треугольник — самый «рабочий» треугольник геометрии. Им пользуются строители (угольник, лестница у стены), штурманы и картографы, им описываются наклон дороги и высота дерева по его тени. В 8 классе на нём держится теорема Пифагора, в 8–9 — тригонометрия: синус, косинус, тангенс. А в 7 классе мы узнаём его базовые свойства и учимся быстро доказывать равенство таких треугольников.

Элементы прямоугольного треугольника

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой ($90^\circ$).

• Стороны, образующие прямой угол, — катеты.
• Сторона, лежащая против прямого угла, — гипотенуза.

Из теоремы о сумме углов: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. А так как против большего угла лежит большая сторона, гипотенуза больше каждого катета.

Свойства прямоугольного треугольника

Свойство 1. Сумма острых углов равна $90^\circ$.

Свойство 2. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Доказательство. Пусть в $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, тогда $\angle B = 60^\circ$. Приложим к треугольнику равный ему треугольник $ABD$ симметрично относительно $AC$ (точка $D$ на продолжении $BC$). Получим $\triangle ABD$, у которого $\angle B = \angle D = 60^\circ$ и $\angle BAD = 60^\circ$ — он равносторонний. Значит, $BD = AB$, а $BC = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AB$. ∎

Свойство 3 (обратное). Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.

Разобранный пример 1

В прямоугольном треугольнике один острый угол $60^\circ$, гипотенуза 14 см. Найдите меньший катет.

1. Второй острый угол: $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
2. Меньший катет лежит против меньшего угла, то есть против $30^\circ$.
3. Он равен половине гипотенузы: $14 : 2 = 7$ см.

Ответ: 7 см.

Разобранный пример 2

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $\angle A = 30^\circ$, $AB + BC = 18$ см. Найдите $AB$.

1. $BC = \frac{1}{2} AB$ (катет против $30^\circ$).
2. $AB + \frac{1}{2} AB = 18$, то есть $\frac{3}{2} AB = 18$, $AB = 12$ см.
3. Проверка: $BC = 6$, $12 + 6 = 18$.

Ответ: 12 см.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Прямой угол у прямоугольных треугольников уже равен, поэтому общие признаки равенства упрощаются. Два прямоугольных треугольника равны, если у них равны:

Последний признак особенно важен: для непрямоугольных треугольников «две стороны и угол не между ними» равенства не гарантируют, а для прямоугольных — гарантируют.

Разобранный пример 3

Из точки $M$ биссектрисы угла $A$ опущены перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны угла. Докажите, что $MB = MC$.

1. Треугольники $AMB$ и $AMC$ прямоугольные (углы $B$ и $C$ прямые).
2. $AM$ — общая гипотенуза, $\angle MAB = \angle MAC$ (биссектриса).
3. По гипотенузе и острому углу $\triangle AMB = \triangle AMC$, значит, $MB = MC$. ∎

Итак, каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон — этот факт пригодится в 8 классе.

Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до прямой

Пусть точка $A$ не лежит на прямой $a$. Отрезок $AH$, где $H \in a$ и $AH \perp a$, называется перпендикуляром, а любой другой отрезок $AM$ ($M \in a$) — наклонной.

Перпендикуляр короче любой наклонной: в прямоугольном $\triangle AHM$ отрезок $AH$ — катет, а $AM$ — гипотенуза.

Поэтому расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра. Именно так измеряют, например, высоту полки над полом или расстояние от дома до дороги.

Расстояние между параллельными прямыми — расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой. Все точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой.

Разобранный пример 4

Из точки $A$ к прямой проведены перпендикуляр $AH$ и наклонная $AM$, $\angle AMH = 30^\circ$, $AM = 16$ см. Найдите расстояние от $A$ до прямой.

$AH$ — катет против угла $30^\circ$: $AH = 16 : 2 = 8$ см.

Где встречается в жизни

• Египетский треугольник. Землемеры Древнего Египта завязывали на верёвке 12 равных узлов и натягивали её треугольником со сторонами 3, 4 и 5 — получался прямой угол. Так размечали поля и основания пирамид.
• Лестница у стены. Если лестница длиной 4 м образует с землёй угол $30^\circ$, то её верх находится на высоте 2 м — свойство катета против $30^\circ$.
• Расстояние до дороги. Кратчайший путь от дома до прямой дороги — по перпендикуляру: перпендикуляр короче любой наклонной.

Типичные ошибки

• Применять свойство «катет против $30^\circ$» к катету, лежащему против угла $60^\circ$.
• Считать гипотенузой любую самую длинную на рисунке сторону, не проверив, против какого угла она лежит.
• Использовать «по гипотенузе и катету» для непрямоугольных треугольников.
• Измерять расстояние от точки до прямой по наклонной, а не по перпендикуляру.
• Забывать, что острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\circ$, а не $180^\circ$.

Что дальше

• Касательная. Центральные и вписанные углы — касательная перпендикулярна радиусу, и расстояние от центра до прямой решает, касается ли она окружности.
• Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах — в стереометрии появятся перпендикуляр и наклонные к плоскости и теорема о трёх перпендикулярах.