Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга

Зачем это нужно

Пчелиные соты — правильные шестиугольники, гайки и карандаши тоже шестигранные, знак «STOP» — восьмиугольник, тротуарная плитка — квадраты и шестиугольники. Правильные многоугольники красивы, симметричны и удобны в технике. А окружность — предел правильного многоугольника с огромным числом сторон: так Архимед вычислил число $\pi$. В этой теме мы научимся находить длину окружности и площадь круга — это нужно, чтобы рассчитать длину обода колеса, площадь круглого участка, количество материала на крышку люка.

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Примеры: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.

Угол правильного $n$-угольника:

$\alpha_n = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}.$

Для треугольника $60^\circ$, квадрата $90^\circ$, пятиугольника $108^\circ$, шестиугольника $120^\circ$.

Вписанная и описанная окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в него можно вписать окружность, причём их центры совпадают. Эта точка — центр правильного многоугольника.

Для правильного $n$-угольника со стороной $a$:

$a = 2R \sin\frac{180^\circ}{n}, \qquad r = R \cos\frac{180^\circ}{n}, \qquad S = \frac{1}{2} P r,$

где $P$ — периметр.

Правильный шестиугольник особенно прост: центр делит его на шесть равносторонних треугольников, поэтому сторона равна радиусу описанной окружности. Отсюда способ построения: отложить радиус циркулем по окружности шесть раз.

Разобранный пример 1

Сторона правильного шестиугольника 4. Найдите его площадь.

Шесть равносторонних треугольников со стороной 4: $S = 6 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}$.

Длина окружности

Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей. Это число обозначают $\pi$ (пи): $\pi \approx 3{,}14159\ldots$ — иррациональное число.

$C = 2\pi R = \pi d.$

Длина дуги с градусной мерой $\alpha$:

$\ell = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}.$

Разобранный пример 2

Колесо велосипеда имеет диаметр 70 см. Какое расстояние проедет велосипед за 100 оборотов колеса?

$100 \cdot \pi \cdot 0{,}7 \approx 100 \cdot 2{,}2 = 220$ м.

Площадь круга и сектора

$S = \pi R^2.$

Площадь сектора с центральным углом $\alpha$:

$S_{\text{сект}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}.$

Разобранный пример 3

Найдите площадь сектора радиуса 6 с углом $60^\circ$.

$S = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 60}{360} = 6\pi \approx 18{,}8$.

Почему соты шестиугольные

Пчёлы строят соты из правильных шестиугольников не случайно. Плоскость без зазоров можно замостить только тремя видами правильных многоугольников: треугольниками, квадратами и шестиугольниками — у них угол делит $360^\circ$ нацело ($60^\circ$, $90^\circ$, $120^\circ$). Из этих трёх фигур при одинаковой площади ячейки шестиугольник имеет наименьший периметр, а значит, на стенки уходит меньше воска. Природа нашла «оптимальное» решение задолго до математиков.

Окружность как предел многоугольников

Если в окружность вписывать правильные многоугольники со всё большим числом сторон, их периметры будут приближаться к длине окружности, а площади — к площади круга. Например, периметр вписанного шестиугольника равен $6R$ — это даёт оценку $\pi \approx 3$; у вписанного 96-угольника периметр уже $\approx 6{,}2822R$, то есть $\pi \approx 3{,}1411$. Именно так рассуждал Архимед.

Площадь круга тоже легко «увидеть»: разрежем круг на много узких секторов и сложим их «ёлочкой» — получится почти прямоугольник со сторонами $\pi R$ (половина длины окружности) и $R$. Его площадь $\pi R \cdot R = \pi R^2$.

Разобранный пример 4

Из квадратного листа со стороной 20 см вырезали наибольший круг. Сколько процентов листа ушло в отходы?

1. Радиус круга 10 см, площадь $100\pi \approx 314$ см².
2. Площадь листа $400$ см², отходы $\approx 86$ см² — около 21,5 %.

История числа π

Древние египтяне считали $\pi \approx 3{,}16$, в Библии встречается $\pi = 3$. Архимед (III век до н. э.) вписывал в окружность и описывал около неё правильные 96-угольники и доказал, что $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$ — отсюда известное приближение $\frac{22}{7}$. Обозначение $\pi$ (от греческого «периферия» — окружность) ввёл в 1706 году Уильям Джонс, а популярным его сделал Леонард Эйлер. Сегодня компьютеры вычислили триллионы знаков числа $\pi$.

Типичные ошибки

• Путать длину окружности $2\pi R$ и площадь круга $\pi R^2$.
• Подставлять диаметр вместо радиуса в формулу площади и получать ответ, в 4 раза больший.
• Путать радиусы вписанной и описанной окружностей: у правильного многоугольника $r < R$.
• В формулах дуги и сектора забывать делить на $180^\circ$ или $360^\circ$ соответственно.
• Считать, что у правильного многоугольника достаточно равенства только сторон (ромб — не правильный многоугольник).

Что дальше

• Многогранники — правильные многогранники.
• Свободное падение. Всемирное тяготение. Движение по окружности — движение по окружности.