Цилиндр, конус, шар

Зачем это нужно

Банки, трубы, цистерны, воронки, вафельные рожки, мячи, купола, планеты — вокруг нас множество тел вращения. Инженеру нужно знать, сколько металла уйдёт на трубу или бак, архитектору — какова площадь купола, картографу — как устроены параллели и меридианы на земном шаре. В этой теме мы изучим элементы цилиндра, конуса и шара, их сечения и площади поверхностей, а в следующей — объёмы.

Цилиндр

Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. У него два равных круглых основания радиуса $R$, лежащих в параллельных плоскостях, и боковая поверхность, образованная образующими — отрезками, параллельными оси. Высота $h$ равна образующей.

Осевое сечение (плоскостью через ось) — прямоугольник $2R \times h$. Сечение плоскостью, параллельной основанию, — круг, равный основанию.

Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами $2\pi R$ (длина окружности) и $h$:

$S_{бок} = 2\pi R h, \qquad S_{полн} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R(R + h).$

Разобранный пример 1

Найдите площадь боковой и полной поверхности цилиндра с $R = 3$ и $h = 5$.

$S_{бок} = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi \approx 94{,}2$; $S_{полн} = 30\pi + 18\pi = 48\pi \approx 150{,}8$.

Конус

Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Его элементы: основание (круг радиуса $R$), вершина, высота $h$, образующая $l$. По теореме Пифагора

$l^2 = R^2 + h^2.$

Осевое сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и основанием $2R$. Развёртка боковой поверхности — круговой сектор радиуса $l$ с длиной дуги $2\pi R$; его угол $\alpha = 360^\circ \cdot \frac{R}{l}$.

$S_{бок} = \pi R l, \qquad S_{полн} = \pi R(R + l).$

Усечённый конус (часть между основанием и параллельным сечением): $S_{бок} = \pi(R + r)l$.

Разобранный пример 2

Конус с $R = 3$, $h = 4$. Найдите образующую, боковую и полную поверхность и угол развёртки.

1. $l = \sqrt{9 + 16} = 5$.
2. $S_{бок} = 15\pi$, $S_{полн} = 15\pi + 9\pi = 24\pi$.
3. Угол развёртки $360^\circ \cdot \frac{3}{5} = 216^\circ$.

Конические сечения

Если пересекать конус плоскостями под разными углами, получаются знаменитые конические сечения: окружность (плоскость параллельна основанию), эллипс (плоскость наклонена, но пересекает все образующие), парабола (плоскость параллельна одной образующей) и гипербола (плоскость параллельна оси). Их изучал ещё Аполлоний Пергский. По этим кривым движутся планеты, кометы и спутники, а форму параболы имеют антенны и зеркала прожекторов. Наклонное сечение цилиндра — тоже эллипс.

Сфера и шар

Сфера — множество точек пространства, удалённых от центра $O$ на расстояние $R$. Шар — тело, ограниченное сферой. В координатах сфера задаётся уравнением $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$.

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от расстояния $d$ от центра до плоскости:

• $d < R$ — сечение — окружность радиуса $r = \sqrt{R^2 - d^2}$;
• $d = R$ — плоскость касается сферы в одной точке и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку;
• $d > R$ — общих точек нет.

Сечение через центр — большой круг (на Земле — экватор и меридианы).

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

— ровно в 4 раза больше площади большого круга.

Разобранный пример 3

Шар радиуса 13 пересечён плоскостью на расстоянии 5 от центра. Найдите площадь сечения.

$r = \sqrt{169 - 25} = 12$, $S = 144\pi$.

Разобранный пример 4

Найдите длину параллели 60° северной широты на Земле ($R \approx 6400$ км).

Плоскость параллели удалена от центра на $d = R\sin 60^\circ$, поэтому радиус параллели $r = \sqrt{R^2 - d^2} = R\cos 60^\circ = 3200$ км. Длина $2\pi \cdot 3200 \approx 20\,100$ км — вдвое короче экватора. Санкт-Петербург лежит почти на этой широте.

Вписанные и описанные сферы

• В куб с ребром $a$ вписана сфера радиуса $\frac{a}{2}$, а описанная сфера имеет радиус $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (половина диагонали куба).
• Около любого цилиндра можно описать сферу: $R_{сф}^2 = R^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$.
• В конус всегда можно вписать шар; его радиус равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение.

Разобранный пример 5

Куб с ребром 2. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

Вписанная: $R = 1$; описанная: $R = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$.

Разобранный пример 6

Осевое сечение цилиндра — квадрат с диагональю $8\sqrt{2}$. Найдите радиус основания и площадь боковой поверхности.

Сторона квадрата 8, значит $h = 8$, $2R = 8$, $R = 4$. $S_{бок} = 2\pi \cdot 4 \cdot 8 = 64\pi$.

Немного истории

Архимед доказал, что площадь сферы равна боковой поверхности описанного цилиндра, то есть $4\pi R^2$, и гордился этим открытием больше всех других. Эратосфен (III век до н. э.) измерил радиус Земли, считая её шаром, и ошибся всего на несколько процентов.

Типичные ошибки

• Путать высоту конуса $h$ и образующую $l$ в формуле $S_{бок} = \pi R l$.
• Забывать площади оснований при вычислении полной поверхности.
• Брать диаметр вместо радиуса.
• Считать, что радиус сечения шара равен $R - d$, а не $\sqrt{R^2 - d^2}$.

Что дальше

• Объёмы тел — объёмы тел.