Векторы на плоскости

Зачем это нужно

Чтобы описать перемещение, мало сказать «на 5 км» — нужно ещё указать направление. Скорость, сила, ускорение, перемещение — величины, у которых есть и величина, и направление. Математически их описывают векторами. Векторы позволяют складывать силы, действующие на тело, рассчитывать курс самолёта при боковом ветре, решать геометрические задачи без громоздких построений. На векторах построены компьютерная графика, навигация, физика и вся высшая математика.

Понятие вектора

Вектор — направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какой из концов — начало, а какой — конец. Обозначение: $\overrightarrow{AB}$ (начало $A$, конец $B$) или $\vec{a}$.

• Длина (модуль) вектора $|\overrightarrow{AB}|$ — длина отрезка $AB$.
• Нулевой вектор $\vec{0}$ — начало совпадает с концом; его длина 0, направление не определено.
• Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Они бывают сонаправленными ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) и противоположно направленными ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).
• Равные векторы — сонаправленные векторы одинаковой длины: $\vec{a} = \vec{b}$. Вектор можно отложить от любой точки — получим равный ему вектор.

Разобранный пример 1

$ABCD$ — параллелограмм. Назовите вектор, равный $\overrightarrow{AB}$, и вектор, противоположный $\overrightarrow{BC}$.

1. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ — стороны параллельны, равны и сонаправлены.
2. Противоположный $\overrightarrow{BC}$ — вектор $\overrightarrow{CB}$ или $\overrightarrow{DA}$.

Сложение векторов

Правило треугольника: чтобы сложить $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложим $\vec{b}$ от конца $\vec{a}$; сумма — вектор из начала $\vec{a}$ в конец $\vec{b}$:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$

Правило параллелограмма: если отложить $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки и построить на них параллелограмм, сумма — его диагональ, выходящая из той же точки.

Правило многоугольника: для нескольких векторов прикладываем каждый следующий к концу предыдущего: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.

Свойства: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$; $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$; $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Вычитание векторов

Разность $\vec{a} - \vec{b}$ — вектор, который в сумме с $\vec{b}$ даёт $\vec{a}$. Если отложить оба вектора от одной точки, разность идёт из конца $\vec{b}$ в конец $\vec{a}$:

$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}.$

Также $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$, где $-\vec{b}$ — противоположный вектор.

Разобранный пример 2

Упростите $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DC}$.

1. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
2. $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.

Умножение вектора на число

Произведение вектора $\vec{a}$ на число $k$ — вектор $k\vec{a}$, длина которого $|k| \cdot |\vec{a}|$; при $k > 0$ он сонаправлен с $\vec{a}$, при $k < 0$ — противоположно направлен.

Признак коллинеарности: ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда $\vec{b} = k\vec{a}$ для некоторого числа $k$.

Применение: средняя линия трапеции

С помощью векторов легко доказать, что средняя линия $MN$ трапеции $ABCD$ параллельна основаниям и равна их полусумме: $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$. Векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$ сонаправлены, поэтому $|\overrightarrow{MN}| = \frac{AD + BC}{2}$.

Разобранный пример 3

$M$ — середина отрезка $AB$, $O$ — любая точка. Выразите $\overrightarrow{OM}$ через $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$.

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ — полезная формула, по ней в координатах находят середину отрезка.

Векторы в физике

Почти все основные величины механики — векторные. Когда на тело действует несколько сил, их равнодействующая находится сложением векторов. Например, если санки тянут два человека с силами по 100 Н под углом $60^\circ$ друг к другу, равнодействующая равна диагонали ромба со стороной 100: $100\sqrt{3} \approx 173$ Н — меньше, чем $200$ Н, которые получились бы при тяге в одном направлении.

Сложение скоростей. Лодка плывёт поперёк реки со скоростью 4 км/ч относительно воды, течение — 3 км/ч. Скорость лодки относительно берега — сумма векторов, её модуль $\sqrt{16 + 9} = 5$ км/ч, и лодку сносит вниз по течению. Чтобы переплыть строго поперёк, нужно направить нос лодки чуть против течения.

История вопроса

Идея направленного отрезка появилась в физике задолго до математики: правило параллелограмма сил знали Стевин и Ньютон. Термин «вектор» (от латинского vector — «несущий») ввёл ирландский математик Уильям Гамильтон в 1845 году, а современные обозначения и правила векторной алгебры сложились в конце XIX века благодаря физикам Джозайе Гиббсу и Оливеру Хевисайду.

Типичные ошибки

• Путать вектор и отрезок: $\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{BA}$, хотя $AB = BA$.
• Считать, что длина суммы равна сумме длин: $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$, равенство — только для сонаправленных.
• В разности направлять вектор от конца уменьшаемого к концу вычитаемого (нужно наоборот).
• Считать равными векторы одинаковой длины, но разного направления.
• Забывать, что при умножении на отрицательное число направление меняется.

Что дальше

• Метод координат — координаты векторов и метод координат.
• Движения — параллельный перенос на вектор.
• Импульс. Закон сохранения импульса — импульс — векторная величина.