Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Зачем это нужно

Когда две прямые пересекаются, образуются четыре угла. Оказывается, достаточно знать один из них, чтобы найти все остальные. Это следует из свойств смежных и вертикальных углов — первых теорем, которые мы докажем.

Эти свойства используются почти в каждой геометрической задаче: при работе с параллельными прямыми, треугольниками, многоугольниками. А в физике закон отражения света формулируется через углы с перпендикуляром к зеркалу.

Смежные углы

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами (продолжают друг друга).

Теорема. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Доказательство. Пусть $\angle AOC$ и $\angle COB$ — смежные. Лучи $OA$ и $OB$ — дополнительные, поэтому $\angle AOB$ — развёрнутый, то есть $180^\circ$. Луч $OC$ лежит внутри него, значит $\angle AOC + \angle COB = \angle AOB = 180^\circ$. ∎

Следствия:

• если один из смежных углов острый, другой тупой;
• если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны;
• угол, смежный с прямым, — прямой.

Вертикальные углы

Два угла называются вертикальными, если стороны одного являются продолжениями сторон другого. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Пусть $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные. Угол $\angle 2$ смежен и с $\angle 1$, и с $\angle 3$. Тогда $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ и $\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$. Отсюда $\angle 1 = 180^\circ - \angle 2 = \angle 3$. ∎

Разобранный пример 1

Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен $35^\circ$. Найдите остальные углы.

1. Угол, вертикальный данному, тоже $35^\circ$.
2. Смежный с ним: $180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$.
3. Четвёртый угол вертикален третьему: $145^\circ$.
4. Проверка: $35 + 145 + 35 + 145 = 360^\circ$ — полный оборот.

Ответ: $35^\circ$, $145^\circ$, $35^\circ$, $145^\circ$.

Разобранный пример 2

Найдите смежные углы, если один из них на $40^\circ$ больше другого.

1. Пусть меньший $x$, тогда больший $x + 40^\circ$.
2. $x + x + 40^\circ = 180^\circ$, $2x = 140^\circ$, $x = 70^\circ$.
3. Углы: $70^\circ$ и $110^\circ$.

Ответ: $70^\circ$ и $110^\circ$.

Разобранный пример 3

Найдите угол между биссектрисами смежных углов.

1. Пусть смежные углы $\alpha$ и $\beta$, $\alpha + \beta = 180^\circ$.
2. Биссектрисы делят их пополам: угол между биссектрисами равен $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$ — биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Обратите внимание: ответ не зависит от величины углов!

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Обозначение: $a \perp b$. На чертеже прямой угол отмечают квадратиком.

Достаточно, чтобы один из четырёх углов был прямым: тогда смежный с ним — тоже $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, а вертикальные равны.

Теорема. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну.

Перпендикуляр к прямой — отрезок, проведённый из точки к прямой под прямым углом. Его конец на прямой называют основанием перпендикуляра. Длина перпендикуляра — расстояние от точки до прямой.

Как доказывать: первые шаги

В доказательствах этой темы виден общий приём: выразить неизвестный угол через известные с помощью уже доказанных фактов. Каждый шаг доказательства опирается на определение, аксиому или теорему — и это нужно указывать: «так как углы смежные», «так как углы вертикальные».

Углы вокруг нас

Смежные и вертикальные углы легко увидеть вокруг: ножницы (при раскрытии лезвия образуют вертикальные углы — поэтому оба конца раскрываются одинаково), перекрёсток дорог, шлагбаум, стрелки часов, продолженные за центр. Инженеры используют свойство вертикальных углов, когда проверяют, ровно ли установлена конструкция: если одна пара углов равна, равна и другая.

Типичные ошибки

• Считать смежными любые два угла с общей стороной. Нужно ещё, чтобы две другие стороны были продолжениями друг друга.
• Считать вертикальными любые углы, «стоящие друг напротив друга» на рисунке, без пересечения прямых.
• Путать: вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают $180^\circ$.
• Забывать, что при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.
• Делать вывод о перпендикулярности «на глаз», без вычисления угла.

Что дальше

• Признаки равенства треугольников — признаки равенства треугольников; в доказательствах часто будут использоваться вертикальные углы.
• Параллельные прямые — углы, образованные двумя прямыми и секущей; свойства смежных углов — ключ к признакам параллельности.
• Распространение и отражение света — закон отражения: угол падения равен углу отражения (углы отсчитывают от перпендикуляра к зеркалу).