Сумма углов треугольника. Неравенство треугольника

Зачем это нужно

Нарисуйте любой треугольник — маленький, огромный, вытянутый — и измерьте его углы. Сумма всегда будет около $180^\circ$. Это не совпадение, а теорема, одна из самых известных в геометрии. Она позволяет находить неизвестные углы, решать задачи на многоугольники, строить и проверять чертежи.

Неравенство треугольника отвечает на вопрос, из каких отрезков можно сложить треугольник, и объясняет, почему прямой путь короче окольного. Обе теоремы постоянно используются в задачах ОГЭ.

Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Доказательство. Пусть дан $\triangle ABC$. Проведём через вершину $B$ прямую $a$, параллельную $AC$ (по аксиоме такая прямая единственна).

1. Углы $\angle 1$ и $\angle A$ — накрест лежащие при параллельных $a$ и $AC$ и секущей $AB$; значит, $\angle 1 = \angle A$.
2. Аналогично $\angle 3 = \angle C$ (секущая $BC$).
3. Углы $\angle 1$, $\angle 2 = \angle B$ и $\angle 3$ вместе составляют развёрнутый угол: $\angle 1 + \angle B + \angle 3 = 180^\circ$.
4. Подставляя, получаем $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. ∎

Следствия:

• в любом треугольнике хотя бы два угла острые;
• в равностороннем треугольнике каждый угол $60^\circ$;
• в прямоугольном треугольнике сумма острых углов $90^\circ$.

Разобранный пример 1

В треугольнике $ABC$ $\angle A = 48^\circ$, $\angle B$ на $14^\circ$ больше $\angle A$. Найдите $\angle C$.

1. $\angle B = 48^\circ + 14^\circ = 62^\circ$.
2. $\angle C = 180^\circ - 48^\circ - 62^\circ = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

Разобранный пример 2

Угол при вершине равнобедренного треугольника $40^\circ$. Найдите углы при основании.

Углы при основании равны: $(180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$.

Классификация треугольников по углам

Теорема о сумме углов сразу ограничивает, какими могут быть углы треугольника. Если бы два угла были прямыми или тупыми, их сумма была бы уже не меньше $180^\circ$, и на третий угол ничего бы не осталось. Поэтому тупой или прямой угол в треугольнике может быть только один. Отсюда три вида треугольников:

Чтобы определить вид треугольника, достаточно посмотреть на его наибольший угол.

Разобранный пример 5

Углы треугольника относятся как $2 : 3 : 7$. Определите вид треугольника.

1. Пусть углы $2x$, $3x$, $7x$. Тогда $12x = 180^\circ$, $x = 15^\circ$.
2. Углы: $30^\circ$, $45^\circ$, $105^\circ$.
3. Наибольший угол $105^\circ > 90^\circ$ — треугольник тупоугольный.
4. Проверка: $30 + 45 + 105 = 180$.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — угол, смежный с каким-нибудь его углом.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Доказательство. Пусть внешний угол $\angle 4$ смежен с $\angle C$. Тогда $\angle 4 = 180^\circ - \angle C$, а по теореме о сумме углов $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$. Значит, $\angle 4 = \angle A + \angle B$. ∎

Разобранный пример 3

Внешний угол при вершине $C$ треугольника равен $120^\circ$, $\angle A = 45^\circ$. Найдите $\angle B$ и $\angle C$.

1. $\angle B = 120^\circ - 45^\circ = 75^\circ$.
2. $\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
3. Проверка: $45 + 75 + 60 = 180$.

Соотношения между сторонами и углами

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно: против большего угла лежит большая сторона.

Следствия: в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета (против прямого угла — наибольшая сторона); если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон:

$a < b + c, \qquad b < a + c, \qquad c < a + b.$

Это формализует житейскую истину: прямой путь из $A$ в $C$ короче, чем путь через $B$.

Как проверить, существует ли треугольник: достаточно проверить, что наибольшая сторона меньше суммы двух других.

Разобранный пример 4

Существует ли треугольник со сторонами 4, 7 и 12? А 5, 7 и 11?

1. $4 + 7 = 11 < 12$ — не существует.
2. $5 + 7 = 12 > 11$ — существует.

Как проверить теорему руками

Вырежьте из бумаги треугольник, оторвите у него три угла и приложите их вершинами друг к другу. Углы сложатся в развёрнутый угол — края образуют прямую линию. Это не доказательство (бумага и ножницы неточны), но хорошая проверка, которую легко провести дома.

История вопроса

Теорема о сумме углов треугольника была известна ещё пифагорейцам (VI–V века до н. э.); её доказательство через параллельную прямую приведено в «Началах» Евклида. Доказательство опирается на аксиому параллельных. В геометрии Лобачевского, где эта аксиома не выполняется, сумма углов треугольника меньше $180^\circ$, а на поверхности шара — больше: треугольник «северный полюс — две точки на экваторе» может иметь три прямых угла. Гаусс, по преданию, измерял углы огромного треугольника между тремя горными вершинами, проверяя, «евклидово» ли наше пространство.

Типичные ошибки

• Считать внешним углом угол, вертикальный углу треугольника. Внешний угол — смежный с углом треугольника.
• Путать: внешний угол равен сумме двух не смежных с ним углов, а не всех трёх.
• Проверять неравенство треугольника только для одной произвольной стороны, а не для наибольшей.
• Считать, что треугольник может иметь два тупых угла.
• Забывать, что против большего угла лежит большая сторона, при сравнении сторон.

Что дальше

• Прямоугольные треугольники — свойства прямоугольных треугольников и признаки их равенства.
• Многоугольники. Параллелограмм и трапеция — сумма углов многоугольника: $(n - 2) \cdot 180^\circ$, — следствие теоремы о сумме углов треугольника.