Касательная. Центральные и вписанные углы

Зачем это нужно

Колесо касается дороги в одной точке, и дорога перпендикулярна спице, проведённой в эту точку. Ремень, натянутый на два шкива, идёт по касательным к ним. Футболист, бьющий по воротам, «видит» ворота под некоторым углом, и этот угол одинаков из всех точек одной дуги — на этом основаны задачи о наилучшей точке обзора. Свойства углов, связанных с окружностью, — основа решения многих геометрических задач, особенно в ОГЭ и ЕГЭ.

Прямая и окружность

Пусть $d$ — расстояние от центра окружности радиуса $r$ до прямой:

• $d > r$ — общих точек нет;
• $d = r$ — одна общая точка, прямая касается окружности;
• $d < r$ — две общие точки, прямая называется секущей.

Касательная

Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (точку касания).

Свойство касательной: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Признак касательной: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна ему, то она касательная.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Разобранный пример 1

Из точки $A$ к окружности радиуса 5 проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания), $OA = 13$. Найдите $AB$.

$\triangle OBA$ прямоугольный ($OB \perp AB$): $AB = \sqrt{169 - 25} = 12$.

Центральные углы и дуги

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера дуги равна величине центрального угла, который на неё опирается. Вся окружность — $360^\circ$, полуокружность — $180^\circ$.

Вписанный угол

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается (то есть половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу):

$\angle ACB = \frac{1}{2} \smile AB = \frac{1}{2} \angle AOB.$

Следствия:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), — прямой.

Разобранный пример 2

Центральный угол $AOB = 110^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$, опирающийся на ту же дугу.

$\angle ACB = 110^\circ : 2 = 55^\circ$.

Разобранный пример 3

$AB$ — диаметр окружности, $C$ — точка на окружности, $\angle CAB = 35^\circ$. Найдите $\angle CBA$.

1. $\angle ACB = 90^\circ$ (опирается на диаметр).
2. $\angle CBA = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла. Это предельный случай вписанного угла: если вершину вписанного угла двигать по окружности к концу хорды, одна его сторона превратится в касательную, а величина угла не изменится.

Пример: если касательная образует с хордой угол $40^\circ$, то дуга между ними равна $80^\circ$.

Как найти центр окружности и где это нужно

Свойство «угол, опирающийся на диаметр, прямой» даёт простой практический способ найти центр круглого предмета. Приложите вершину прямого угла (угольника, листа бумаги) к краю круга: точки, где стороны угла пересекают край, — концы диаметра. Проведите два таких диаметра — они пересекутся в центре. Так столяры находят центр круглого спила, а мастера — центр шкива.

Свойство касательной используют при проектировании дорог: поворот трассы делают по дуге окружности, которая касается прямых участков, чтобы машину не бросало в сторону. По той же причине ремень передачи сходит со шкива по касательной.

История вопроса

Теорему о том, что угол, вписанный в полуокружность, прямой, приписывают Фалесу Милетскому (VI век до н. э.) — одному из первых греческих учёных, кто стал доказывать геометрические утверждения, а не просто описывать наблюдения. Общая теорема о вписанном угле изложена в III книге «Начал» Евклида.

Отрезки пересекающихся хорд

Если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, то

$AE \cdot EB = CE \cdot ED.$

Доказательство: $\triangle AEC \sim \triangle DEB$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, и вертикальные углы).

Разобранный пример 4

Хорды пересекаются; одна делится на отрезки 4 и 9, другая — на отрезки, один из которых 6. Найдите второй.

$4 \cdot 9 = 6 \cdot x$, $x = 6$.

Типичные ошибки

• Считать вписанный угол равным дуге, а не её половине.
• Путать центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу: центральный вдвое больше.
• Забывать, что угол, опирающийся на диаметр, прямой.
• Не замечать прямой угол между касательной и радиусом.
• В теореме о хордах перемножать отрезки разных хорд крест-накрест неправильно: перемножаются отрезки одной хорды.

Что дальше

• Вписанная и описанная окружности — вписанная и описанная окружности треугольника и четырёхугольника.
• Геометрические места точек — геометрические места точек.
• Вписанные и описанные четырёхугольники — вписанные и описанные четырёхугольники.