Теорема Пифагора

Зачем это нужно

Теорема Пифагора — пожалуй, самая знаменитая теорема математики. Она позволяет найти третью сторону прямоугольного треугольника по двум другим. С её помощью вычисляют расстояния на карте и на экране, диагональ телевизора и комнаты, длину лестницы, высоту дерева, длину ската крыши. На ней основана формула расстояния между точками в координатах, а значит, — навигация, компьютерная графика, GPS. В ОГЭ задачи на теорему Пифагора встречаются в нескольких заданиях.

Формулировка

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2,$

где $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты.

Геометрический смысл: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Доказательство

Возьмём четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ и сложим их внутри квадрата со стороной $a + b$ так, чтобы гипотенузы образовали внутренний квадрат со стороной $c$.

1. Площадь большого квадрата: $(a + b)^2$.
2. Она же равна сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата: $4 \cdot \frac{1}{2} ab + c^2 = 2ab + c^2$.
3. $(a + b)^2 = 2ab + c^2$, то есть $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$, откуда $c^2 = a^2 + b^2$. ∎

Известно более 400 доказательств этой теоремы!

Нахождение сторон

$c = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}.$

Разобранный пример 1

Катеты 6 и 8. Найдите гипотенузу.

$c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Разобранный пример 2

Гипотенуза 13, катет 5. Найдите другой катет.

$b = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Разобранный пример 3

Найдите диагональ квадрата со стороной $a$ и высоту равностороннего треугольника со стороной $a$.

1. Диагональ квадрата: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
2. Высота равностороннего треугольника делит основание пополам: $h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Разобранный пример 4

Лестница длиной 5 м приставлена к стене, её нижний конец отстоит от стены на 1,4 м. На какой высоте верхний конец?

$h = \sqrt{25 - 1{,}96} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ м.

Обратная теорема

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Так можно проверить, прямой ли угол, по одним только длинам сторон.

Разобранный пример 5

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 7, 24, 25? А 6, 7, 9?

1. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ — да.
2. $6^2 + 7^2 = 85 \ne 81$ — нет (так как $85 > 81$, наибольший угол острый).

Пифагоровы тройки — тройки натуральных чисел, удовлетворяющие равенству $a^2 + b^2 = c^2$: (3; 4; 5), (5; 12; 13), (8; 15; 17), (7; 24; 25) и кратные им — (6; 8; 10), (9; 12; 15). Их полезно помнить, чтобы не вычислять корни.

Формула Герона

Площадь треугольника по трём сторонам $a$, $b$, $c$:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \qquad p = \frac{a + b + c}{2}.$

Пример: стороны 13, 14, 15; $p = 21$; $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.

Где применяется теорема Пифагора

• Расстояние между точками. Если точки имеют координаты $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, расстояние между ними равно $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ — это теорема Пифагора для треугольника с катетами вдоль осей. Так навигатор считает расстояния, а компьютерная игра проверяет, попал ли снаряд в цель.
• Строительство. Длину стропил крыши находят по высоте конька и половине ширины дома. Прямоугольность углов проверяют «правилом 3–4–5».
• Экраны. Диагональ экрана в дюймах связана с его шириной и высотой: у экрана $16 : 9$ с диагональю 32 дюйма ширина около 27,9 дюйма.
• Пространство. Диагональ прямоугольного параллелепипеда (например, коробки) равна $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ — теорема применяется дважды.

Перед вычислениями полезно найти на чертеже прямоугольный треугольник: его часто создаёт высота, диагональ ромба или радиус, проведённый в точку касания.

История вопроса

Теорема носит имя древнегреческого философа и математика Пифагора (VI век до н. э.), хотя частные случаи были известны раньше: вавилонская табличка «Плимптон 322» (около 1800 года до н. э.) содержит пифагоровы тройки, а египетские землемеры строили прямые углы с помощью верёвки с 12 узлами (треугольник 3–4–5). В Древнем Китае теорема была известна как «теорема гоу-гу».

Типичные ошибки

• Складывать стороны вместо их квадратов: $c \ne a + b$.
• Применять теорему к непрямоугольному треугольнику.
• Путать катет и гипотенузу: гипотенуза — сторона против прямого угла, она наибольшая.
• Забывать извлечь корень: $c^2 = 25$ означает $c = 5$, а не $25$.
• Неверно вычитать при поиске катета: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, а не $\sqrt{b^2 - c^2}$.

Что дальше

• Синус, косинус, тангенс острого угла — синус, косинус и тангенс острого угла; основное тригонометрическое тождество следует из теоремы Пифагора.