Площади многоугольников

Зачем это нужно

Сколько обоев купить для комнаты, сколько краски — для забора, сколько плитки — для пола? Какой урожай соберут с поля, сколько солнечных панелей поместится на крыше? Все эти вопросы сводятся к вычислению площади. Участки земли и комнаты редко бывают прямоугольными, поэтому важно уметь находить площади параллелограммов, треугольников и трапеций — а любой многоугольник можно разрезать на такие части.

Понятие площади и её свойства

Площадь — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает фигура. За единицу принимают площадь квадрата со стороной 1 (1 см², 1 м²). Свойства:

1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура составлена из нескольких частей, её площадь равна сумме площадей частей.
3. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$.

Из этих свойств выводятся все формулы. Фигуры, которые можно разрезать на одинаковые части, называют равносоставленными — у них равные площади.

Прямоугольник и квадрат

$S_{\text{прям}} = ab, \qquad S_{\text{кв}} = a^2.$

Параллелограмм

Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведённый из точки одной стороны к прямой, содержащей противоположную сторону.

$S = a h_a,$

где $a$ — сторона (основание), $h_a$ — высота, проведённая к ней.

Доказательство: отрежем треугольник, отсекаемый высотой, и приложим его к другой стороне — получится прямоугольник с теми же основанием $a$ и высотой $h$.

Треугольник

Треугольник — половина параллелограмма (диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника):

$S_\triangle = \frac{1}{2} a h_a.$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2} ab$.

Следствия:

• треугольники с равными основаниями и высотами имеют равные площади;
• медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника;
• если высоты двух треугольников равны, их площади относятся как основания.

Разобранный пример 1

Сторона треугольника 12 см, высота к ней 7 см. Найдите площадь.

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 7 = 42$ см².

Разобранный пример 2

Стороны параллелограмма 10 и 6, высота к большей стороне 3. Найдите высоту к меньшей стороне.

1. $S = 10 \cdot 3 = 30$.
2. $S = 6 \cdot h$, откуда $h = 5$.

Приём «площадь двумя способами» — один из самых полезных в геометрии.

Трапеция

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h.$

Доказательство: диагональ делит трапецию на два треугольника с основаниями $a$ и $b$ и одной и той же высотой $h$: $\frac{1}{2} a h + \frac{1}{2} b h$.

Так как $\frac{a + b}{2}$ — средняя линия, то $S = m \cdot h$, где $m$ — средняя линия.

Разобранный пример 3

Основания трапеции 8 и 14 см, высота 5 см. Найдите площадь.

$S = \frac{8 + 14}{2} \cdot 5 = 55$ см².

Ромб

Площадь ромба (и любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями) равна половине произведения диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2.$

Разобранный пример 4

Диагонали ромба 10 и 24. Найдите площадь.

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$.

Отношение площадей

Если угол одного треугольника равен углу другого, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1 b_1}{a_2 b_2}.$

Разобранный пример 5

Найдите площадь участка в форме пятиугольника, который состоит из прямоугольника $40 \times 25$ м и треугольника с основанием 40 м и высотой 15 м, приставленного к длинной стороне.

1. Прямоугольник: $40 \cdot 25 = 1000$ м².
2. Треугольник: $\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 = 300$ м².
3. Весь участок: $1300$ м², то есть 13 соток (1 сотка $= 100$ м²).

Единицы площади

При переводе единиц площади множитель возводится в квадрат: в 1 м 100 см, а в 1 м² — $100^2 = 10\,000$ см².

История вопроса

Формулы площадей знали ещё в Древнем Египте: после разливов Нила землемеры заново размечали поля и вычисляли налог по площади участков. Само слово «геометрия» переводится с греческого как «землемерие». Египтяне вычисляли площадь четырёхугольного поля приближённо — как произведение полусумм противоположных сторон; для прямоугольника это точно, а для других четырёхугольников даёт завышенный результат.

Площади многоугольников сложной формы

Чтобы найти площадь сложной фигуры, её разбивают на прямоугольники, треугольники и трапеции, или достраивают до простой фигуры и вычитают лишнее. На клетчатой бумаге удобна формула Пика: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где $В$ — число узлов сетки внутри фигуры, $Г$ — на её границе.

Типичные ошибки

• Умножать сторону на соседнюю сторону, а не на высоту, проведённую к ней.
• Забывать $\frac{1}{2}$ в формуле площади треугольника.
• Подставлять в формулу трапеции боковую сторону вместо высоты.
• Путать единицы: площадь в см², а не в см; $1$ м² $= 10\,000$ см².
• Брать высоту к одной стороне, а основание — другое.

Что дальше

• Теорема Пифагора — теорема Пифагора и формула Герона.
• Подобные треугольники — отношение площадей подобных фигур.
• Начальные сведения из стереометрии — площади поверхностей многогранников.
• Закон больших чисел. Геометрическая вероятность — геометрическая вероятность через отношение площадей.