Прямоугольник, ромб, квадрат. Симметрия

Зачем это нужно

Прямоугольник — самая распространённая форма в окружающем мире: листы, экраны, комнаты, окна, кирпичи. Ромбы встречаются в узорах паркета, сетке-рабице, дорожных знаках «Главная дорога». Квадрат — в шахматной доске и пикселях экрана. Чтобы, например, проверить, что фундамент дома заложен «прямоугольником», строители измеряют его диагонали — и эта тема объясняет почему. А понятие симметрии нужно в архитектуре, дизайне, физике кристаллов и биологии.

Все три фигуры — особые параллелограммы: у них есть все свойства параллелограмма и ещё дополнительные.

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Особое свойство: диагонали прямоугольника равны.

Признак: если диагонали параллелограмма равны, то он — прямоугольник.

Именно поэтому строители проверяют разметку фундамента, сравнивая диагонали: если противоположные стороны равны (это параллелограмм) и диагонали равны, то углы прямые.

Разобранный пример 1

Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOB = 60^\circ$, $AC = 12$. Найдите $AB$.

1. $AO = BO = 6$ (диагонали равны и делятся пополам).
2. $\triangle AOB$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине — равносторонний.
3. $AB = 6$.

Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Особые свойства: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Признаки: параллелограмм является ромбом, если его диагонали перпендикулярны или если диагональ — биссектриса угла.

Разобранный пример 2

Угол ромба $50^\circ$. Найдите углы, которые образует его сторона с диагоналями.

1. Диагонали делят углы пополам: $25^\circ$ — с одной диагональю.
2. Соседний угол ромба $130^\circ$, его половина $65^\circ$ — с другой диагональю.
3. Проверка: $25^\circ + 65^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ (диагонали перпендикулярны).

Квадрат

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Его можно считать и ромбом с прямыми углами. Поэтому у квадрата все свойства прямоугольника и ромба:

• все углы прямые, все стороны равны;
• диагонали равны, перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы пополам ($45^\circ$).

Разобранный пример 3

В квадрате $ABCD$ точка $O$ — пересечение диагоналей. Докажите, что треугольник $AOB$ — прямоугольный и равнобедренный.

1. Диагонали квадрата равны и делятся пополам, значит, $AO = BO$.
2. Диагонали перпендикулярны, значит, $\angle AOB = 90^\circ$.
3. Следовательно, $\triangle AOB$ — прямоугольный равнобедренный, а его острые углы по $45^\circ$. Диагонали делят квадрат на четыре таких равных треугольника.

Осевая и центральная симметрия

Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $a$, если $a$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AA_1$. Фигура обладает осевой симметрией, если для каждой её точки симметричная точка тоже ей принадлежит; прямая $a$ — ось симметрии.

Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно точки $O$, если $O$ — середина $AA_1$. Фигура центрально-симметрична, если она переходит сама в себя при симметрии относительно точки $O$ — центра симметрии.

Симметрия вокруг нас

Симметрия — один из главных законов природы и искусства. Осевой симметрией обладают бабочка, лист клёна, человеческое лицо (приблизительно), фасады многих зданий — например, Большого театра или Исаакиевского собора. Центральная симметрия встречается у цветков с чётным числом лепестков, у кристаллов, у игральных карт (их можно перевернуть «вверх ногами», и картинка не изменится). Снежинки обладают шестью осями симметрии — в этом проявляется шестиугольное строение кристаллической решётки льда.

В технике симметрия облегчает изготовление и балансировку деталей: колёса, винты, лопасти вентиляторов делают симметричными, чтобы они не «били» при вращении.

Типичные ошибки

• Считать, что у ромба диагонали равны — равны только у квадрата.
• Думать, что диагонали прямоугольника — его оси симметрии. Оси проходят через середины сторон.
• Признавать четырёхугольник прямоугольником только по равным диагоналям, не убедившись, что это параллелограмм.
• Забывать, что квадрат — одновременно и прямоугольник, и ромб.
• Путать центральную симметрию с осевой.

Что дальше

• Площади многоугольников — площади прямоугольника, ромба и квадрата.
• Движения — движения плоскости: симметрии, поворот, параллельный перенос.