Многоугольники. Параллелограмм и трапеция

Зачем это нужно

Окна, двери, плитка, листы бумаги, участки земли, детали механизмов — всё это четырёхугольники. Параллелограмм лежит в основе многих механизмов (настольная лампа на шарнирах, пантограф электрички, складные ножницы-«гармошка»), трапеция — форма откосов, плотин, мостовых опор, сечений каналов. В этой теме мы узнаем, как найти сумму углов любого многоугольника и какими свойствами обладают параллелограмм и трапеция. Задачи на эти фигуры есть в каждом варианте ОГЭ.

Многоугольники

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений. Звенья ломаной — стороны, их концы — вершины. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины, — диагональ.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$.

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна

$(n - 2) \cdot 180^\circ.$

Доказательство: из одной вершины проведём все диагонали — они разобьют многоугольник на $n - 2$ треугольника, сумма углов каждого $180^\circ$.

Разобранный пример 1

Найдите сумму углов выпуклого шестиугольника и угол правильного шестиугольника.

1. Сумма: $(6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$.
2. У правильного шестиугольника все углы равны: $720^\circ : 6 = 120^\circ$.

У четырёхугольника сумма углов $360^\circ$.

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны: $AB = CD$, $BC = AD$.
2. Противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ (односторонние углы при параллельных прямых).
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$, $BO = OD$.

Свойства 1 и 2 доказываются так: диагональ $AC$ делит параллелограмм на два треугольника, равных по второму признаку (сторона $AC$ общая, а углы при ней равны как накрест лежащие).

Признаки параллелограмма. Четырёхугольник — параллелограмм, если:

1. две его стороны равны и параллельны; или
2. противоположные стороны попарно равны; или
3. диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Разобранный пример 2

Один угол параллелограмма на $40^\circ$ больше другого. Найдите углы.

1. Соседние углы в сумме дают $180^\circ$: $x + x + 40^\circ = 180^\circ$, $x = 70^\circ$.
2. Углы: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.

Разобранный пример 3

Периметр параллелограмма 36 см, одна сторона в 2 раза больше другой. Найдите стороны.

$2(x + 2x) = 36$, $x = 6$: стороны 6, 12, 6 и 12 см.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны — основания, непараллельные — боковые стороны.

Виды трапеций:

• равнобедренная (равнобокая) — боковые стороны равны; у неё углы при каждом основании равны, а диагонали равны;
• прямоугольная — одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме:

$MN = \frac{AD + BC}{2}.$

В трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают $180^\circ$.

Разобранный пример 4

Основания трапеции 7 см и 13 см. Найдите среднюю линию.

$\frac{7 + 13}{2} = 10$ см.

Разобранный пример 5

В равнобедренной трапеции угол при большем основании $65^\circ$. Найдите остальные углы.

1. Второй угол при том же основании тоже $65^\circ$.
2. Углы при меньшем основании: $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

Теорема Фалеса

Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону, то они отсекут на второй стороне тоже равные отрезки. С её помощью любой отрезок можно разделить циркулем и линейкой на $n$ равных частей.

Параллелограмм и трапеция в технике

Шарнирный параллелограмм сохраняет параллельность противоположных сторон при любом наклоне. Поэтому на нём устроены настольные лампы, которые держат плафон ровно, полки-«чемоданчики» для инструментов, механизм дворников автобуса и токоприёмник электропоезда — пантограф. Его же используют чертёжные приборы-пантографы, позволяющие копировать рисунок в увеличенном или уменьшенном масштабе.

Трапеция — устойчивая форма: у неё широкое основание и сужение кверху. Такое сечение имеют насыпи дорог, дамбы, каналы, фундаменты, а также крыши-«вальмы». Средняя линия трапеции позволяет быстро найти, например, площадь поперечного сечения канала: она равна произведению средней линии на глубину.

Типичные ошибки

• Считать, что диагонали параллелограмма равны: это верно только для прямоугольника.
• Путать: у параллелограмма равны противоположные углы, а соседние в сумме дают $180^\circ$.
• Считать трапецией четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон — это параллелограмм.
• Находить среднюю линию трапеции как полуразность оснований вместо полусуммы.
• Применять формулу $(n - 2) \cdot 180^\circ$ к числу сторон, перепутав $n$ с числом диагоналей.

Что дальше

• Прямоугольник, ромб, квадрат. Симметрия — прямоугольник, ромб, квадрат как особые параллелограммы.
• Вписанная и описанная окружности — вписанные и описанные четырёхугольники.
• Векторы на плоскости — правило параллелограмма для сложения векторов.