Движения

Зачем это нужно

Узоры на обоях, паркет, орнаменты, логотипы, снежинки, колёса обозрения — всё это примеры фигур, которые переходят сами в себя при симметриях, поворотах и переносах. Такие преобразования, сохраняющие расстояния, называются движениями. Они помогают строго определить, какие фигуры равны, решать задачи на построение и доказательство, и лежат в основе компьютерной графики (перемещение и вращение объектов на экране), робототехники и кристаллографии.

Отображение плоскости и движение

Отображение плоскости на себя — правило, по которому каждой точке плоскости сопоставляется некоторая точка плоскости (её образ), причём каждая точка является образом какой-то точки.

Движение — отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния: если точки $A$ и $B$ переходят в $A_1$ и $B_1$, то $A_1B_1 = AB$.

Свойства движения:

• отрезок переходит в отрезок, прямая — в прямую, луч — в луч;
• угол переходит в равный угол;
• треугольник — в равный треугольник;
• окружность — в окружность того же радиуса.

Две фигуры равны, если одну можно перевести в другую движением. Так строго определяется понятие «наложение», которым пользовались в 7 классе.

Виды движений

1. Осевая симметрия относительно прямой $a$: точка $M$ переходит в точку $M_1$, такую что $a$ — серединный перпендикуляр к $MM_1$. Меняет ориентацию фигуры: «правое» становится «левым», как в зеркале.

2. Центральная симметрия относительно точки $O$: $O$ — середина отрезка $MM_1$. Это то же самое, что поворот на $180^\circ$.

3. Параллельный перенос на вектор $\vec{a}$: каждая точка $M$ переходит в $M_1$, где $\overrightarrow{MM_1} = \vec{a}$. Все точки сдвигаются одинаково. В координатах: $(x; y) \to (x + a_1;\ y + a_2)$.

4. Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$: точка $M$ переходит в $M_1$, где $OM_1 = OM$ и $\angle MOM_1 = \alpha$ (против часовой стрелки — положительное направление).

Разобранный пример 1

Найдите образ точки $A(3; -2)$ при: а) симметрии относительно оси $x$; б) симметрии относительно начала координат; в) переносе на вектор $\{-1; 4\}$; г) повороте вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки.

1. а) $(3; 2)$ — меняется знак $y$.
2. б) $(-3; 2)$ — меняются оба знака.
3. в) $(2; 2)$.
4. г) $(2; 3)$ — при повороте на $90^\circ$: $(x; y) \to (-y; x)$.

Разобранный пример 2

При параллельном переносе точка $(1; 2)$ перешла в точку $(4; -1)$. В какую точку перейдёт $(0; 5)$?

Вектор переноса $\{3; -3\}$; образ $(3; 2)$.

Симметрия фигур

Фигура симметрична относительно прямой (точки), если она переходит в себя при соответствующей симметрии. Фигура обладает поворотной симметрией порядка $n$, если переходит в себя при повороте на $\frac{360^\circ}{n}$. Правильный шестиугольник: 6 осей симметрии, центр симметрии и поворотная симметрия 6-го порядка. Снежинка — то же самое.

Движения в задачах

Движения помогают решать задачи на построение и на нахождение кратчайших путей.

Разобранный пример 3 (задача о водопое)

Пастух из точки $A$ должен напоить коня у реки (прямая $a$) и прийти в точку $B$ — по одну сторону реки. Где у реки остановиться, чтобы путь был кратчайшим?

1. Отразим точку $B$ симметрично относительно прямой $a$ — получим $B_1$.
2. Для любой точки $M$ реки $MB = MB_1$, поэтому путь $AM + MB = AM + MB_1$.
3. Он наименьший, когда $M$ лежит на отрезке $AB_1$ (кратчайший путь между двумя точками — прямая).
4. Значит, нужно остановиться в точке пересечения $AB_1$ с рекой.

Тот же принцип объясняет закон отражения света: луч, отражаясь от зеркала, идёт по кратчайшему пути, и угол падения равен углу отражения.

Композиция движений

Если выполнить одно движение за другим, снова получится движение. Например, две осевые симметрии относительно параллельных прямых дают параллельный перенос, а относительно пересекающихся — поворот вокруг точки пересечения на удвоенный угол между прямыми. Поэтому любые движения плоскости можно составить из осевых симметрий — их достаточно не более трёх.

Движения и орнаменты

Бордюры, паркеты и обои строятся многократным повторением одного узора с помощью переносов, поворотов и симметрий. Математики доказали, что существует ровно 17 типов плоских периодических узоров (кристаллографических групп) — и все они встречаются в мозаиках Альгамбры в Испании. Художник Мауриц Эшер создавал знаменитые «мозаики» из птиц, рыб и ящериц, заполняющих плоскость без промежутков.

Типичные ошибки

• Считать движением преобразование, меняющее размеры (это подобие, а не движение).
• Путать центральную и осевую симметрию.
• При повороте ошибаться в направлении: положительное — против часовой стрелки.
• При симметрии относительно оси $x$ менять знак абсциссы вместо ординаты.
• Забывать, что параллельный перенос не имеет неподвижных точек (кроме переноса на нулевой вектор).

Что дальше

• Гомотетия и преобразования подобия — гомотетия и подобие: преобразования, меняющие размер.
• Геометрия преобразований и симметрий — геометрия преобразований.