Вписанные и описанные четырёхугольники

Зачем это нужно

Около любого треугольника можно описать окружность и в любой треугольник можно вписать окружность. С четырёхугольниками всё иначе: это получается только в особых случаях. Умение быстро распознать вписанный четырёхугольник — один из главных приёмов олимпиадной и экзаменационной геометрии: стоит заметить, что четыре точки лежат на одной окружности, и сразу появляются равные углы, подобные треугольники и пропорции. В этой теме мы соберём свойства и признаки, а также теоремы о степени точки, Птолемея и Брахмагупты.

Вписанный четырёхугольник

Свойство. Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Доказательство. $\angle A$ опирается на дугу $BCD$, а $\angle C$ — на дугу $BAD$. Вместе эти дуги составляют всю окружность, $360^\circ$, а вписанный угол равен половине дуги. Значит, $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Признак 1. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, то около него можно описать окружность.

Признак 2 (через «равные углы»). Если $\angle ABD = \angle ACD$ и точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$, то $A, B, C, D$ лежат на одной окружности. Это следует из того, что ГМТ, из которых отрезок $AD$ виден под данным углом, — дуга окружности.

Следствия. Из параллелограммов вписать в окружность можно только прямоугольник, из трапеций — только равнобедренную.

Разобранный пример 1

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ $\angle BAC = \angle BDC = 30^\circ$, $\angle ACD = 50^\circ$. Найдите $\angle ABD$.

1. Точки $A$ и $D$ видят отрезок $BC$ под одинаковым углом $30^\circ$ и лежат по одну сторону от $BC$. По признаку 2 $ABCD$ вписан в окружность.
2. Тогда $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на одну дугу $AD$, поэтому $\angle ABD = 50^\circ$.

Степень точки

Теорема о хордах. Если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, то $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Теорема о секущих и касательной. Если из точки $P$ вне окружности проведены секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$, и касательная $PT$, то

$PA \cdot PB = PT^2.$

Для всех секущих из одной точки произведение одинаково. Его называют степенью точки относительно окружности: $d^2 - R^2$, где $d$ — расстояние от точки до центра.

Разобранный пример 2

Из точки $P$ проведены секущая ($PA = 4$, $PB = 9$) и касательная $PT$. Найдите $PT$.

$PT^2 = 4 \cdot 9 = 36$, $PT = 6$.

Теоремы Птолемея и Брахмагупты

Теорема Птолемея. Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD.$

Для прямоугольника $a \times b$ она превращается в теорему Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$.

Формула Брахмагупты. Площадь вписанного четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ и полупериметром $p$:

$S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}.$

Это обобщение формулы Герона (если $d = 0$, получаем треугольник).

Разобранный пример 3

Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 8 и боковыми сторонами 5.

1. Трапеция равнобедренная — значит, вписанная. $p = (2 + 8 + 5 + 5) : 2 = 10$.
2. $S = \sqrt{8 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5} = \sqrt{400} = 20$.
3. Проверка: высота $\sqrt{25 - 9} = 4$, $S = \frac{2 + 8}{2} \cdot 4 = 20$.

Описанный четырёхугольник

Свойство (теорема Пито). Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$.

Доказательство. Отрезки касательных, проведённых из одной вершины, равны (на рисунке они одного цвета). Каждая сторона состоит из двух таких отрезков, и в каждую из сумм $AB + CD$ и $BC + AD$ входит ровно по одному отрезку каждого цвета.

Признак. Если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. Отсюда: из параллелограммов описать около окружности можно только ромб.

Площадь описанного многоугольника: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

Разобранный пример 4

В описанном четырёхугольнике $AB = 5$, $BC = 7$, $CD = 9$, радиус вписанной окружности 2. Найдите $AD$ и площадь.

1. $AD = AB + CD - BC = 7$.
2. $p = (5 + 7 + 9 + 7) : 2 = 14$, $S = 14 \cdot 2 = 28$.

Немного истории

Клавдий Птолемей (II век) использовал свою теорему для составления таблиц хорд — предшественников таблиц синусов, нужных астрономам. Индийский математик Брахмагупта (VII век) нашёл формулу площади вписанного четырёхугольника. Французский инженер Анри Пито доказал свойство описанного четырёхугольника в 1725 году.

Типичные ошибки

• Применять свойство $\angle A + \angle C = 180^\circ$ к любому четырёхугольнику, не проверив, что он вписан.
• Складывать соседние углы или стороны вместо противоположных.
• Использовать формулу Брахмагупты для невписанного четырёхугольника.
• В теореме о секущей брать $AB$ вместо $PB$: в произведение входят расстояния от точки $P$.
• Путать: во вписанном четырёхугольнике связаны углы, в описанном — стороны.

Что дальше

• Инверсия окружности и преобразования Мёбиуса — инверсия переводит окружности в окружности и прямые; степень точки — её основа.