Вписанная и описанная окружности

Зачем это нужно

Как вырезать из треугольного листа фанеры самый большой круг? Где поставить вышку связи, чтобы она была одинаково удалена от трёх посёлков? Где построить колодец, равноудалённый от трёх дорог? Ответы дают замечательные точки треугольника — центры вписанной и описанной окружностей. Эти точки и окружности — классика геометрии и частые гости задач ОГЭ и ЕГЭ.

Два важных геометрических места

1. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. И обратно: точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе.
2. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. И обратно.

Четыре замечательные точки треугольника

В любом треугольнике:

1. Биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.
2. Серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.
3. Высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре.
4. Медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести; она делит каждую медиану в отношении $2 : 1$, считая от вершины.

Вписанная окружность

Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну; её центр — точка пересечения биссектрис.

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p},$

где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр. (Треугольник разбивается на три треугольника с вершиной в центре и высотами $r$: $S = \frac{1}{2} r (a + b + c) = pr$.)

Для прямоугольного треугольника: $r = \frac{a + b - c}{2}$.

Разобранный пример 1

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8.

1. Гипотенуза 10, $S = 24$, $p = 12$.
2. $r = 24 : 12 = 2$. Проверка по второй формуле: $(6 + 8 - 10) : 2 = 2$.

Описанная окружность

Окружность описана около многоугольника, если все его вершины лежат на ней. Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Положение центра:

• у остроугольного треугольника — внутри;
• у прямоугольного — в середине гипотенузы, $R = \frac{c}{2}$;
• у тупоугольного — вне треугольника.

Разобранный пример 2

Катеты прямоугольного треугольника 5 и 12. Найдите радиус описанной окружности.

Гипотенуза $\sqrt{25 + 144} = 13$, $R = 6{,}5$.

Разобранный пример 3

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной 6.

1. В равностороннем треугольнике все замечательные точки совпадают и делят высоту в отношении $2 : 1$.
2. Высота $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.
3. $R = \frac{2}{3} h = 2\sqrt{3}$, $r = \frac{1}{3} h = \sqrt{3}$; $R = 2r$.

Вписанные и описанные четырёхугольники

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$.

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Следствия: около прямоугольника и равнобедренной трапеции можно описать окружность; в ромб и квадрат можно вписать окружность. Около параллелограмма, не являющегося прямоугольником, окружность описать нельзя.

Разобранный пример 4

В трапецию вписана окружность, боковые стороны 7 и 9. Найдите среднюю линию.

1. Сумма оснований = сумме боковых сторон = 16.
2. Средняя линия: $16 : 2 = 8$.

Практические задачи

• Самый большой круг из треугольной заготовки — это вписанный круг. Его центр находят, построив две биссектрисы, а радиус — как расстояние от центра до любой стороны.
• Вышка связи для трёх посёлков, одинаково удалённая от них, ставится в центре описанной окружности. Если треугольник посёлков тупоугольный, эта точка окажется вне треугольника, и тогда выгоднее поставить вышку на середине самой длинной стороны.
• Колодец, равноудалённый от трёх прямых дорог, образующих треугольник, ставят в центре вписанной окружности.

История вопроса

Леонард Эйлер в 1765 году доказал удивительный факт: в любом треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан и ортоцентр лежат на одной прямой — её называют прямой Эйлера. Причём центр тяжести делит отрезок между центром описанной окружности и ортоцентром в отношении $1 : 2$. В равностороннем треугольнике все эти точки сливаются в одну.

Типичные ошибки

• Путать центры: вписанной окружности — пересечение биссектрис, описанной — серединных перпендикуляров.
• Считать, что центр описанной окружности всегда внутри треугольника.
• Забывать, что у прямоугольного треугольника $R$ — половина гипотенузы.
• Путать условия: вписанный четырёхугольник — сумма противоположных углов $180^\circ$; описанный — равны суммы противоположных сторон.
• Использовать в $r = \frac{S}{p}$ периметр вместо полупериметра.

Что дальше

• Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга — правильные многоугольники, вписанные в окружность и описанные около неё.
• Вписанные и описанные четырёхугольники — подробнее о вписанных и описанных четырёхугольниках.