Геометрические места точек — Ranimus, Ветвь разума

Зачем это нужно

Где поставить вышку связи, чтобы она была одинаково удалена от трёх посёлков? Где на дороге поставить остановку, чтобы до двух домов было одинаково идти? Такие задачи решаются одной идеей: описать все точки, удовлетворяющие условию, и посмотреть, где эти множества пересекаются. Множество всех точек с заданным свойством называется геометрическим местом точек (ГМТ). Это мощный инструмент и в задачах на построение, и в аналитической геометрии, где ГМТ записывается уравнением.

Определение и как доказывать

Геометрическое место точек — фигура, состоящая из всех точек плоскости, обладающих некоторым свойством, и только из них.

Поэтому доказательство того, что фигура $F$ — искомое ГМТ, всегда состоит из двух частей:

каждая точка фигуры $F$ обладает свойством;
каждая точка со свойством лежит на $F$ (других точек нет).

Пропуск второй части — самая частая ошибка: можно доказать, что точки окружности обладают свойством, но упустить, что ему удовлетворяют и какие-то точки вне её.

Основные ГМТ

Четыре основных геометрических места точек: окружность, серединный перпендикуляр, биссектриса угла, окружность с диаметром AB

Свойство точки $M$	ГМТ
$OM = r$	окружность с центром $O$ радиуса $r$
$MA = MB$	серединный перпендикуляр к отрезку $AB$
равноудалена от сторон угла (внутри угла)	биссектриса угла
удалена от прямой $a$ на расстояние $d$	две прямые, параллельные $a$ , на расстоянии $d$
равноудалена от двух параллельных прямых	прямая посередине между ними
$\angle AMB = 90^\circ$	окружность с диаметром $AB$ без точек $A$ и $B$
$\angle AMB = \varphi$	две дуги окружностей, опирающиеся на $AB$

Последние две строки следуют из теоремы о вписанном угле: все точки дуги видят хорду под одним и тем же углом.

Пример доказательства (серединный перпендикуляр). Если $M$ лежит на серединном перпендикуляре, то $\triangle AMO = \triangle BMO$ ( $O$ — середина $AB$ ) по двум катетам, значит, $MA = MB$ . Обратно: если $MA = MB$ , то $\triangle AMB$ равнобедренный, его медиана $MO$ является высотой, и $M$ лежит на перпендикуляре. Обе части доказаны.

Метод геометрических мест

Чтобы построить точку, удовлетворяющую двум условиям, строят ГМТ для каждого условия отдельно и находят их пересечение.

Разобранный пример 1

На прямой $l$ найдите точку, равноудалённую от точек $A$ и $B$ .

ГМТ точек, равноудалённых от $A$ и $B$ , — серединный перпендикуляр к $AB$ .
Искомая точка — пересечение этого перпендикуляра с $l$ .
Если перпендикуляр параллелен $l$ , решений нет; если совпадает с $l$ , то решений бесконечно много.

Точно так же центр описанной окружности треугольника — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам, а центр вписанной — пересечение биссектрис. Вышку связи из вводной задачи нужно ставить в центре окружности, описанной около треугольника из трёх посёлков.

ГМТ в координатах

Метод координат превращает условие на точку $M(x; y)$ в уравнение, а уравнение показывает, какая получилась фигура.

Разобранный пример 2

Найдите ГМТ $M$ , для которых $MA = MB$ , где $A(0; 0)$ , $B(4; 2)$ .

$x^2 + y^2 = (x - 4)^2 + (y - 2)^2$ .
Раскрываем скобки: $0 = -8x + 16 - 4y + 4$ , то есть $2x + y = 5$ .
Это прямая — серединный перпендикуляр. Проверка: середина $(2; 1)$ подходит, $4 + 1 = 5$ .

Разобранный пример 3

Найдите ГМТ $M$ , для которых $MA = 2\,MB$ , где $A(0; 0)$ , $B(3; 0)$ .

$x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$ .
$3x^2 - 24x + 3y^2 + 36 = 0$ , то есть $x^2 - 8x + y^2 + 12 = 0$ .
Выделяем полный квадрат: $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ — окружность с центром $(4; 0)$ и радиусом $2$ .
Проверка: точка $(2; 0)$ : $MA = 2$ , $MB = 1$ — верно.

Такая окружность называется окружностью Аполлония: ГМТ, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (и не равно 1), — всегда окружность.

Немного истории

Термин восходит к древнегреческому «топос» — «место». Аполлоний Пергский (III век до н. э.) в трактате «Конические сечения» описал эллипс, гиперболу и параболу как ГМТ: например, эллипс — точки, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) постоянна, а парабола — точки, равноудалённые от точки и прямой. На этом свойстве основаны параболические антенны и фары: лучи от фокуса отражаются параллельным пучком.

Типичные ошибки

Доказывать только одну часть: «точки фигуры обладают свойством», — и забывать обратное утверждение.
Считать ГМТ точек на расстоянии $d$ от прямой одной прямой, а их две.
Забывать выколотые точки: в ГМТ « $\angle AMB = 90^\circ$ » не входят $A$ и $B$ .
Отвечать «биссектриса» для точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых: на самом деле это две перпендикулярные прямые — биссектрисы всех четырёх углов.
В координатном методе не выделять полный квадрат и не узнавать окружность.

Что дальше

Вписанные и описанные четырёхугольники — вписанные четырёхугольники: точки, видящие отрезок под одним углом.
Аналитические геометрические места точек — эллипс, гипербола и парабола как ГМТ в координатах.