Гомотетия и преобразования подобия

Зачем это нужно

Проектор увеличивает картинку со слайда на экран, фотография печатается в разных размерах, карта — уменьшенная копия местности. Все эти превращения сохраняют форму, но меняют размер. В геометрии их описывают гомотетией и преобразованиями подобия. Это продолжение темы «Движения»: движения сохраняют расстояния, а подобия умножают все расстояния на одно и то же число.

Определение гомотетии

Пусть даны точка $O$ и число $k \ne 0$. Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ переводит каждую точку $M$ в такую точку $M'$, что

$\overrightarrow{OM'} = k \cdot \overrightarrow{OM}.$

• При $k > 0$ точка $M'$ лежит на луче $OM$ (по ту же сторону от $O$).
• При $k < 0$ — на продолжении луча за точку $O$.
• При $|k| > 1$ фигура увеличивается, при $|k| < 1$ — уменьшается.
• При $k = 1$ все точки остаются на месте, при $k = -1$ получаем центральную симметрию.

Свойства гомотетии

1. Все расстояния умножаются на $|k|$: $A'B' = |k| \cdot AB$. Это сразу следует из $\overrightarrow{A'B'} = k \cdot \overrightarrow{AB}$.
2. Прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя, если проходит через $O$).
3. Углы сохраняются.
4. Площади умножаются на $k^2$.
5. Окружность радиуса $r$ переходит в окружность радиуса $|k| r$.

В координатах гомотетия с центром в начале координат — это просто умножение координат: $(x; y) \to (kx; ky)$. С центром $O(a; b)$: $M' = O + k(M - O)$.

Разобранный пример 1

Найдите образ точки $A(3; 2)$ при гомотетии с центром $O(1; 1)$ и $k = 2$.

$\overrightarrow{OA} = (2; 1)$, $\overrightarrow{OA'} = (4; 2)$, $A' = (1 + 4;\ 1 + 2) = (5; 3)$.

Разобранный пример 2

Площадь треугольника 5. Найдите площадь его образа при гомотетии с $k = -3$.

$S' = k^2 S = 9 \cdot 5 = 45$. Знак $k$ на площадь не влияет.

Преобразование подобия

Преобразование подобия с коэффициентом $k > 0$ — преобразование, при котором все расстояния умножаются на $k$. Любое преобразование подобия можно получить как гомотетию, за которой следует движение. Две фигуры называются подобными, если одну можно перевести в другую преобразованием подобия. Для треугольников это определение совпадает с привычным: углы равны, стороны пропорциональны.

Гомотетия — частный случай подобия, но не всякое подобие — гомотетия: например, поворот вместе с увеличением в общем случае не переводит прямые в параллельные.

Гомотетия в задачах

Треугольник средних линий. Медианы треугольника пересекаются в точке $G$ и делятся ею в отношении $2 : 1$. Поэтому гомотетия с центром $G$ и $k = -\frac{1}{2}$ переводит вершины $A, B, C$ в середины противоположных сторон, а весь треугольник — в треугольник, образованный средними линиями.

Две окружности. Любые две окружности с разными радиусами гомотетичны, причём центров гомотетии два: внешний ($k > 0$) и внутренний ($k < 0$). Через внешний центр проходят общие внешние касательные, через внутренний — общие внутренние.

Разобранный пример 3 (метод подобия в построениях)

Впишите квадрат в треугольник с основанием $a = 12$ и высотой $h = 6$ так, чтобы одна сторона квадрата лежала на основании. Найдите сторону квадрата.

1. Идея построения. Постройте любой маленький квадрат, у которого одна сторона лежит на основании, а одна вершина — на боковой стороне. Затем гомотетией с центром в вершине треугольника «раздуйте» его, пока четвёртая вершина не попадёт на другую сторону.
2. Вычисление. Верхняя сторона квадрата отсекает треугольник, подобный исходному, с высотой $h - x$: $\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h}$.
3. $x = \frac{ah}{a + h} = \frac{72}{18} = 4$.

Разобранный пример 4

Окружности радиусами 2 и 6, расстояние между центрами $O_1 O_2 = 12$. Где лежит внутренний центр гомотетии $S$?

$S$ лежит на отрезке $O_1 O_2$, $\frac{SO_1}{SO_2} = \frac{2}{6}$, $SO_1 + SO_2 = 12$, откуда $SO_1 = 3$.

Немного истории

Термин «гомотетия» (от греческих слов «подобно» и «расположенный») ввёл французский математик Мишель Шаль в XIX веке, но сама идея известна с античности: на ней основано учение о подобии у Евклида. Механическое устройство для гомотетичного копирования чертежей — пантограф — изобрёл в 1603 году Кристоф Шейнер. Сегодня то же самое делает команда «масштабировать» в любом графическом редакторе.

Типичные ошибки

• Умножать площади на $k$, а не на $k^2$.
• Забывать, что при $k < 0$ фигура оказывается по другую сторону от центра и «переворачивается».
• Считать, что гомотетия сохраняет расстояния: это делают только движения ($k = \pm 1$).
• Путать коэффициент подобия (всегда положительный) с коэффициентом гомотетии (может быть отрицательным).
• Искать образ точки, откладывая $k \cdot OM$ от точки $M$, а не от центра $O$.

Что дальше

• Вписанные и описанные четырёхугольники — вписанные четырёхугольники и подобие треугольников в окружности.
• Элементы проективной геометрии — центральное проектирование обобщает гомотетию.