Текстовые задачи на отношения «больше/меньше на… и в…»

Зачем это нужно

«У Маши 12 марок, а у Пети на 4 больше». «Арбуз в 3 раза тяжелее дыни». «Во сколько раз взрослый билет дороже детского?» Такие фразы постоянно встречаются в задачах и в жизни. Они описывают отношения между величинами, и важно точно понимать, какое действие стоит за каждой из них.

Главная трудность здесь — не вычисления, а смысл слов. «На» и «в» отличаются одной буквой, но требуют разных действий. Научившись их различать и записывать задачи кратко, вы сможете решать задачи в два-три действия и готовиться к уравнениям.

Два вида сравнения

Сравнить два числа можно двумя способами.

Разностное сравнение — «на сколько?». Узнаём, какую величину надо прибавить к меньшему числу, чтобы получить большее. Для этого из большего вычитают меньшее:

$12 - 4 = 8 \quad \text{— число 12 больше числа 4 на 8.}$

Кратное сравнение — «во сколько раз?». Узнаём, сколько раз меньшее число укладывается в большем. Для этого большее делят на меньшее:

$12 : 4 = 3 \quad \text{— число 12 больше числа 4 в 3 раза.}$

Четыре главные фразы

И две фразы-вопроса:

Запомните: «на» — сложение и вычитание, «в … раз» — умножение и деление.

Краткая запись и схема

Перед решением задачу удобно записать коротко — только главное.

Задача. У Маши 12 марок, у Пети в 3 раза больше. Сколько марок у Пети?

Краткая запись:

• Маша — 12 марок;
• Петя — ? марок, в 3 раза больше.

Схема: у Пети три «Машиных» отрезка. Решение: $12 \cdot 3 = 36$ марок.

Составные задачи

В составной задаче нельзя сразу ответить на вопрос: сначала нужно найти что-то промежуточное.

Разобранный пример 1

Задача. В первой корзине 18 яблок, во второй — в 3 раза меньше. Сколько яблок в двух корзинах вместе?

1. Сколько во второй корзине? «В 3 раза меньше» — делим: $18 : 3 = 6$.
2. Сколько вместе? $18 + 6 = 24$.
3. Выражение: $18 + 18 : 3 = 24$.
4. Проверка: 18 больше 6 в $18 : 6 = 3$ раза — совпадает с условием.

Ответ: 24 яблока.

Разобранный пример 2

Задача. Карандаш стоит 8 рублей, а ручка — 32 рубля. Во сколько раз ручка дороже карандаша? На сколько рублей?

1. «Во сколько раз» — делим большее на меньшее: $32 : 8 = 4$.
2. «На сколько» — вычитаем: $32 - 8 = 24$.

Ответ: в 4 раза; на 24 рубля.

Разобранный пример 3 (задача в три действия)

Задача. В классе 9 мальчиков, девочек на 3 больше. Учеников 4 класса в 2 раза больше, чем в этом классе. Сколько учеников в 4 классе?

1. Девочек: $9 + 3 = 12$.
2. Всего в классе: $9 + 12 = 21$.
3. В 4 классе: $21 \cdot 2 = 42$.

Ответ: 42 ученика.

Ловушки «косвенной» формы

Иногда фраза перевёрнута: «У Пети 20 марок, это на 5 больше, чем у Маши. Сколько марок у Маши?» Слово «больше» сбивает, но больше — у Пети. Значит, у Маши меньше на 5: $20 - 5 = 15$.

Чтобы не попасть в ловушку, всегда спрашивайте себя: у кого больше? — и рисуйте схему.

План решения любой текстовой задачи

1. Прочитайте задачу дважды и найдите вопрос.
2. Сделайте краткую запись или схему.
3. Решите, можно ли сразу ответить на вопрос; если нет — что нужно узнать сначала.
4. Выполните действия, подписывая, что находите.
5. Проверьте ответ по условию и запишите его полностью — с единицами.

Типичные ошибки

• Путать «на» и «в»: «больше в 3 раза» решать прибавлением тройки.
• Отвечать на «во сколько раз?» вычитанием и наоборот.
• В составной задаче отвечать на промежуточный вопрос и не доводить решение до конца.
• В косвенной форме механически делать «больше — значит, прибавляю».
• Делить меньшее на большее: «во сколько раз 8 меньше 32» — это $32 : 8$, а не $8 : 32$.

Что дальше

• Задачи на движение — в задачах на движение скорость, время и расстояние связаны так же: «в 2 раза быстрее», «на 10 км больше».