Таблица умножения

Зачем это нужно

Таблица умножения — главный «инструмент» устного счёта. Без неё не обойтись при делении, в дробях, при вычислении площади, в задачах на цену и скорость. Тот, кто знает её наизусть, решает примеры в несколько раз быстрее и реже ошибается.

Хорошая новость: учить нужно гораздо меньше, чем кажется. Из 81 произведения однозначных чисел по-настоящему «трудных» — всего пара десятков. Остальное получается из правил и закономерностей, которые мы разберём.

Таблица Пифагора

Все произведения чисел от 1 до 9 удобно собрать в квадратную таблицу. На пересечении строки и столбца стоит их произведение. Например, строка 6 и столбец 7 дают $6 \cdot 7 = 42$.

Как учить таблицу с умом

1. Половина таблицы — повтор. По переместительному свойству $6 \cdot 7 = 7 \cdot 6$. Таблица симметрична относительно диагонали, значит, учить нужно только половину.

2. Каждая следующая строка — плюс одно число. $4 \cdot 6 = 24$, а $5 \cdot 6$ — на одну шестёрку больше: $24 + 6 = 30$. Если забыли произведение, его можно получить из соседнего.

3. Умножение на 1 и на 0. $a \cdot 1 = a$, $a \cdot 0 = 0$. Строку «1» учить не надо.

4. Умножение на 2 — удвоение. $2 \cdot 8 = 8 + 8 = 16$.

5. Умножение на 4 — удвоить дважды. $4 \cdot 7$: $7 \cdot 2 = 14$, $14 \cdot 2 = 28$.

6. Умножение на 5 — половина от умножения на 10. $5 \cdot 8 = 80 : 2 = 40$. Все произведения на 5 оканчиваются на 0 или на 5.

7. Умножение на 9 — «десять минус одно». $9 \cdot 7 = 10 \cdot 7 - 7 = 70 - 7 = 63$. Закономерность: у ответов в строке 9 сумма цифр всегда 9 ($18$, $27$, $36$, …, $81$), а цифра десятков на 1 меньше второго множителя.

8. Квадраты — на диагонали. $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81$ — их стоит выучить отдельно, они часто встречаются.

После этих правил «трудных» произведений остаётся мало: $6 \cdot 7 = 42$, $6 \cdot 8 = 48$, $7 \cdot 8 = 56$, $3 \cdot 7 = 21$, $3 \cdot 8 = 24$. Их полезно повторять каждый день по паре минут.

Разобранный пример 1

Вычислите $7 \cdot 8$, если забыли ответ.

1. Помним квадрат $7 \cdot 7 = 49$.
2. $7 \cdot 8$ — на одну семёрку больше: $49 + 7 = 56$.
3. Проверка через десятку: $7 \cdot 8 = 8 \cdot 7 = 80 - 8 \cdot 3 = 80 - 24 = 56$. Совпало.

Ответ: 56. Запоминалка: «5, 6, 7, 8» — $56 = 7 \cdot 8$.

Табличное деление

Каждая клетка таблицы даёт сразу два деления. Из $6 \cdot 7 = 42$ следует:

$42 : 7 = 6, \qquad 42 : 6 = 7.$

Чтобы разделить 42 на 7, найдите в строке (или столбце) 7 число 42 — номер столбца (или строки) и есть ответ. Поэтому отдельная «таблица деления» не нужна: достаточно знать таблицу умножения.

Разобранный пример 2

Задача. 56 карандашей разложили в коробки по 8 штук. Сколько получилось коробок?

1. Деление по содержанию: $56 : 8$.
2. Ищем, на что нужно умножить 8, чтобы получить 56: $8 \cdot 7 = 56$.
3. Значит, $56 : 8 = 7$. Проверка: $7 \cdot 8 = 56$.

Ответ: 7 коробок.

Тренировка

Таблицу запоминают не за один день. Работает такой режим:

• по 5–10 минут каждый день, а не час раз в неделю;
• карточки: с одной стороны пример, с другой — ответ; карточки, на которых ошиблись, откладываются для повторения;
• вслух и вразбивку: «семь на восемь», «шесть на девять», а не только подряд по строке;
• проверять себя делением: если знаете $6 \cdot 9 = 54$, ответьте и на $54 : 9$.

Типичные ошибки

• Путать «соседние» ответы: $7 \cdot 8 = 54$ (на самом деле 56), $6 \cdot 9 = 56$ (на самом деле 54).
• Считать, что $a \cdot 0 = a$. Правильно — 0.
• Учить таблицу только «подряд» и не узнавать произведение вразбивку.
• Забывать, что из каждого произведения следуют два деления.

Что дальше

• Внетабличное умножение и деление — научимся умножать и делить числа, которых нет в таблице: $23 \cdot 4$, $96 : 3$.
• Деление с остатком — как поступить, если число не делится нацело: $17 : 5$.
• Площадь прямоугольника — площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.
• Текстовые задачи на отношения «больше/меньше на… и в…» — задачи «в несколько раз больше/меньше».