Периметр многоугольника — Ranimus, Ветвь разума

Зачем это нужно

Сколько нужно забора, чтобы огородить грядку? Сколько ленты пойдёт на рамку для фотографии? Сколько шагов вы сделаете, обойдя вокруг школьного стадиона? Во всех этих вопросах нужно знать длину границы фигуры — её периметр.

Периметр — первая величина, которую мы находим не одним измерением, а вычислением. Позже рядом с ним появится площадь, и важно не путать эти две величины.

Что такое периметр

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначают периметр большой латинской буквой $P$ .

Представьте муравья, который ползёт по краю фигуры и возвращается в начальную точку. Путь, который он прополз, и есть периметр.

Многоугольник ABCDE со сторонами 3, 4, 2, 5 и 4 см; периметр равен их сумме

Чтобы найти периметр:

Измерьте (или возьмите из условия) длину каждой стороны.
Сложите все длины.
Запишите ответ с единицами длины: см, дм, м.

Для пятиугольника на рисунке: $P = 3 + 4 + 2 + 5 + 4 = 18$ см.

Периметр треугольника

У треугольника три стороны, поэтому его периметр — сумма трёх длин. Если стороны равны 5 см, 6 см и 7 см, то

$P = 5 + 6 + 7 = 18 \text{ см}.$

Периметр прямоугольника

У прямоугольника противоположные стороны равны: две длинные стороны — это длина $a$ , две короткие — ширина $b$ . Поэтому складывать четыре числа необязательно.

Есть три способа:

Способ	Запись	Для $a = 6$ см, $b = 4$ см
сложить все стороны	$P = a + b + a + b$	$6 + 4 + 6 + 4 = 20$
удвоенные длина и ширина	$P = a \cdot 2 + b \cdot 2$	$12 + 8 = 20$
удвоенная сумма длины и ширины	$P = (a + b) \cdot 2$	$10 \cdot 2 = 20$

Все способы дают одно и то же: 20 см. Самый удобный — третий: сложили длину и ширину (это полупериметр) и удвоили.

Периметр квадрата

У квадрата все четыре стороны равны. Если сторона равна $a$ , то

$P = a + a + a + a = a \cdot 4.$

Квадрат со стороной 5 см имеет периметр $5 \cdot 4 = 20$ см.

Разобранный пример 1

Задача. Длина прямоугольной грядки 9 м, ширина 3 м. Сколько метров забора нужно, чтобы её огородить?

Длина забора равна периметру прямоугольника.
$P = (9 + 3) \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$ м.
Проверка сложением всех сторон: $9 + 3 + 9 + 3 = 24$ м. Совпало.

Ответ: 24 м.

Разобранный пример 2 (обратная задача)

Задача. Периметр квадрата 32 см. Найдите длину его стороны.

У квадрата 4 равные стороны, их сумма — 32 см.
Одна сторона: $32 : 4 = 8$ см.
Проверка: $8 \cdot 4 = 32$ см. Верно.

Ответ: 8 см.

Разобранный пример 3

Задача. Периметр прямоугольника 18 см, длина 6 см. Найдите ширину.

Полупериметр (длина + ширина) равен $18 : 2 = 9$ см.
Ширина: $9 - 6 = 3$ см.
Проверка: $(6 + 3) \cdot 2 = 18$ см. Верно.

Ответ: 3 см.

Периметр фигуры на клетчатой бумаге

Если фигура нарисована по линиям клеток, её периметр удобно считать в клетках (длинах стороны клетки). Обходите фигуру по контуру и считайте отрезки по одной клетке, отмечая начало, чтобы не пройти круг дважды.

Интересно, что фигуры одинакового «размера» могут иметь разный периметр. Прямоугольник из 4 клеток в ряд имеет периметр $(4 + 1) \cdot 2 = 10$ клеток, а квадрат из тех же 4 клеток (2 на 2) — только $(2 + 2) \cdot 2 = 8$ клеток. Чем «компактнее» фигура, тем короче её граница. Именно поэтому для огорода с наименьшим забором выгоднее форма, близкая к квадрату.

Единицы — одинаковые!

Складывать длины сторон можно, только если они выражены в одних единицах. Если одна сторона 1 дм, а другая 4 см, сначала переведите: 1 дм = 10 см. Периметр прямоугольника со сторонами 1 дм и 4 см равен $(10 + 4) \cdot 2 = 28$ см.

История вопроса

Слово «периметр» пришло из греческого языка: «пери» — «вокруг», «метрео» — «измеряю». То есть периметр — это буквально «измерение вокруг». Древние египтяне и греки измеряли периметры полей верёвками с узлами, а по длине границы иногда ошибочно судили о размере участка — к этой ловушке мы вернёмся, когда будем изучать площадь.

Типичные ошибки

Складывать только две стороны прямоугольника (длину и ширину) и забывать удвоить: получается полупериметр, а не периметр.
Пропускать сторону при подсчёте у многоугольника с большим числом сторон — помогает отмечать каждую сложенную сторону галочкой.
Складывать длины в разных единицах: $1 \text{ дм} + 4 \text{ см} \ne 5 \text{ см}$ .
Забывать единицы в ответе.
Путать периметр квадрата $a \cdot 4$ с «квадратом» числа $a \cdot a$ — это разные вещи; $a \cdot a$ понадобится для площади.

Что дальше

Площадь прямоугольника — кроме длины границы, у фигуры есть и площадь — «сколько места она занимает». Научимся её находить и не путать с периметром.