Площадь прямоугольника

Зачем это нужно

Сколько нужно плитки, чтобы выложить пол в ванной? Сколько краски уйдёт на стену? Поместится ли ковёр в комнате? Чтобы ответить, нужно знать не длину границы (периметр), а сколько места занимает фигура — её площадь.

Площадь — одна из важнейших величин в математике, физике, строительстве и географии. Площадь квартиры, поля, страны, солнечной батареи — всё это измеряется одинаково, и начинается всё с площади прямоугольника.

Что такое площадь

Положите на стол лист бумаги и тетрадь. Какая фигура больше? Если одна целиком помещается на другой, её площадь меньше. Но чаще фигуры так не сравнить — нужна мерка.

Мерка для площади — маленький квадрат. Разобьём фигуры на одинаковые квадраты и посчитаем, сколько их в каждой. У какой фигуры квадратов больше, у той и площадь больше.

Площадь фигуры — это число, которое показывает, сколько единичных квадратов в ней помещается.

Единицы площади

Чтобы все получали одинаковые ответы, мерки должны быть стандартными:

Единица	Что это	Обозначение
квадратный сантиметр	квадрат со стороной 1 см	см²
квадратный дециметр	квадрат со стороной 1 дм	дм²
квадратный метр	квадрат со стороной 1 м	м²

Один квадратный сантиметр — примерно размер ногтя на мизинце; одна клетка в тетради — четверть квадратного сантиметра (её сторона 5 мм). Квадратный метр — это примерно площадь большого стола; площадь комнаты измеряют в квадратных метрах.

Обратите внимание на маленькую двойку: см² читают «квадратный сантиметр». Без неё получится единица длины — это совсем другая величина.

Нарисуем прямоугольник длиной 5 см и шириной 3 см и разобьём его на квадратные сантиметры.

Прямоугольник 5 см на 3 см разбит на 15 квадратных сантиметров: 3 ряда по 5

Получилось 3 ряда по 5 квадратов. Считать по одному не нужно — это умножение: $5 \cdot 3 = 15$ . Значит, площадь равна $15 \text{ см}^2$ .

Так можно сделать с любым прямоугольником. Отсюда правило:

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно умножить его длину на ширину:

$S = a \cdot b.$

Площадь обозначают буквой $S$ . Длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах, тогда площадь получится в соответствующих квадратных единицах: см · см → см², м · м → м².

Площадь квадрата. У квадрата длина равна ширине, поэтому $S = a \cdot a$ . Квадрат со стороной 4 см имеет площадь $4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2$ .

Разобранный пример 1

Задача. Комната имеет форму прямоугольника 6 м на 4 м. Какова её площадь?

$S = a \cdot b = 6 \cdot 4 = 24$ .
Длины в метрах, значит, площадь в квадратных метрах.
Проверка: 4 ряда по 6 квадратных метров — $6 + 6 + 6 + 6 = 24$ .

Ответ: $24 \text{ м}^2$ .

Обратная задача

Если известны площадь и одна сторона, другую сторону находят делением: $a = S : b$ .

Разобранный пример 2

Задача. Площадь прямоугольника $36 \text{ см}^2$ , ширина 4 см. Найдите длину и периметр.

Длина: $36 : 4 = 9$ см (проверка: $9 \cdot 4 = 36$ ).
Периметр: $P = (9 + 4) \cdot 2 = 26$ см.

Ответ: длина 9 см, периметр 26 см.

Площадь и периметр — не одно и то же

	Периметр	Площадь
Что показывает	длину границы	сколько места внутри
Как найти для прямоугольника	$(a + b) \cdot 2$	$a \cdot b$
Единицы	см, дм, м	см², дм², м²
Пример: 5 см × 3 см	16 см	15 см²

Фигуры с одинаковой площадью могут иметь разный периметр. Составим прямоугольники из 12 одинаковых клеток: 12 × 1 (периметр 26), 6 × 2 (периметр 16) и 4 × 3 (периметр 14). Площадь у всех одна — 12 клеток, а граница разная. И наоборот: у прямоугольников с периметром 16 клеток — 7 × 1 и 4 × 4 — площади 7 и 16 клеток.

Площадь сложной фигуры

Фигуру, составленную из прямоугольников, можно разрезать на прямоугольники, найти площадь каждого и сложить. Площадь целой фигуры равна сумме площадей её частей.

Разобранный пример 3

Фигура в форме буквы «Г»: прямоугольник 6 см × 2 см и приставленный к нему снизу прямоугольник 2 см × 3 см.

$S_1 = 6 \cdot 2 = 12 \text{ см}^2$ .
$S_2 = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}^2$ .
$S = 12 + 6 = 18 \text{ см}^2$ .

Ответ: $18 \text{ см}^2$ .

Типичные ошибки

Путать площадь и периметр: складывать стороны вместо того, чтобы их умножать.
Писать единицы длины вместо единиц площади: «15 см» вместо «15 см²».
Перемножать длины в разных единицах: 1 дм на 4 см — сначала переведите: 10 см × 4 см = 40 см².
Думать, что у фигур с одинаковым периметром одинаковая площадь.

Что дальше

Величины и перевод единиц — узнаем, сколько квадратных сантиметров в квадратном дециметре (не 10, а 100!), и научимся переводить единицы площади.
Площадь и объём. Прямоугольный параллелепипед — от площади перейдём к объёму: сколько кубиков помещается в коробке.