Внетабличное умножение и деление

Зачем это нужно

Таблица умножения заканчивается на $9 \cdot 9 = 81$. Но в жизни нужно умножать и делить и другие числа: 23 тетради по 4 рубля, 96 конфет на 3 ребят, 84 страницы по 12 в день. Такие вычисления называют внетабличными.

Хорошая новость: новых таблиц учить не нужно. Достаточно уметь раскладывать число на удобные части и пользоваться свойствами умножения. Эти приёмы — основа письменного умножения и деления столбиком, которое ждёт вас в 4 классе.

Умножение и деление круглых чисел

Круглое число — это несколько десятков. Например, $30 = 3 \text{ десятка}$. Тогда:

$30 \cdot 2 = 3 \text{ дес.} \cdot 2 = 6 \text{ дес.} = 60, \qquad 80 : 4 = 8 \text{ дес.} : 4 = 2 \text{ дес.} = 20.$

То же для сотен: $200 \cdot 3 = 600$, $900 : 3 = 300$. И деление круглого на круглое: $80 : 20 = 8 \text{ дес.} : 2 \text{ дес.} = 4$.

Главный инструмент: умножение суммы на число

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и результаты сложить:

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c.$

Это распределительное свойство умножения. Его легко увидеть на картинке.

Сколько клеток в прямоугольнике 23 на 4? Разрежем его на две части: 20 на 4 и 3 на 4. Клеток в частях: $80$ и $12$, всего $92$. Значит:

$23 \cdot 4 = (20 + 3) \cdot 4 = 20 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 80 + 12 = 92.$

Умножение двузначного числа на однозначное

Алгоритм:

1. Разложить двузначное число на десятки и единицы.
2. Умножить на однозначное число десятки, потом единицы.
3. Сложить результаты.

Разобранный пример 1

Вычислите $36 \cdot 2$.

1. $36 = 30 + 6$.
2. $30 \cdot 2 = 60$, $6 \cdot 2 = 12$.
3. $60 + 12 = 72$.
4. Проверка делением: $72 : 2 = 36$ — верно (см. ниже, как делить).

Ответ: 72.

Умножение однозначного на двузначное делают так же, переставив множители: $4 \cdot 23 = 23 \cdot 4 = 92$.

Деление суммы на число

Аналогично, чтобы разделить сумму на число, можно разделить каждое слагаемое (если оно делится) и результаты сложить:

$(a + b) : c = a : c + b : c.$

Главное — разложить делимое на удобные слагаемые, каждое из которых делится нацело.

Разобранный пример 2

Вычислите $96 : 3$.

1. Разложим 96 на удобные слагаемые: $96 = 90 + 6$ (оба делятся на 3).
2. $90 : 3 = 30$, $6 : 3 = 2$.
3. $30 + 2 = 32$.
4. Проверка умножением: $32 \cdot 3 = 96$ — верно.

Ответ: 32.

Разобранный пример 3

Вычислите $78 : 3$.

Раскладывать на десятки и единицы ($70 + 8$) здесь не получится: 70 на 3 не делится. Возьмём наибольшее круглое число, которое делится на 3, — это 60:

1. $78 = 60 + 18$.
2. $60 : 3 = 20$, $18 : 3 = 6$.
3. $20 + 6 = 26$.
4. Проверка: $26 \cdot 3 = 78$ — верно.

Ответ: 26.

Деление двузначного числа на двузначное

Как вычислить $87 : 29$? Здесь удобнее подбор частного с проверкой умножением.

1. Прикинем: $29 \approx 30$, а $87 \approx 90$. $90 : 30 = 3$ — частное, вероятно, 3.
2. Проверяем: $29 \cdot 3 = 87$. Подошло.

Ответ: $87 : 29 = 3$.

Если прикидка не подошла, пробуем соседнее число. Например, для $72 : 24$: прикидка $70 : 20 \approx 3$, проверка $24 \cdot 3 = 72$ — верно.

Разобранный пример 4 (задача)

Задача. В школьную столовую привезли 4 ящика яблок по 24 кг и 3 ящика груш по 18 кг. Сколько килограммов фруктов привезли?

1. Яблоки: $24 \cdot 4 = 20 \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 80 + 16 = 96$ кг.
2. Груши: $18 \cdot 3 = 10 \cdot 3 + 8 \cdot 3 = 30 + 24 = 54$ кг.
3. Всего: $96 + 54 = 150$ кг.
4. Прикидка: $25 \cdot 4 = 100$ и $20 \cdot 3 = 60$, всего около 160 — ответ 150 правдоподобен.

Ответ: 150 кг.

Умножение и деление трёхзначных круглых чисел

Те же приёмы работают и для сотен. Например:

• $120 \cdot 3 = (100 + 20) \cdot 3 = 300 + 60 = 360$;
• $240 : 2 = 200 : 2 + 40 : 2 = 100 + 20 = 120$;
• $480 : 4 = 400 : 4 + 80 : 4 = 100 + 20 = 120$.

Если удобно, считайте «в десятках»: $480 : 4$ — это 48 десятков разделить на 4, получится 12 десятков, то есть 120.

Порядок действий и свойства

Распределительное свойство помогает и в выражениях. Чтобы вычислить $7 \cdot 6 + 3 \cdot 6$, можно не находить два произведения: $(7 + 3) \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$. А сочетательное свойство умножения позволяет группировать множители: $25 \cdot 2 \cdot 4 = 25 \cdot (2 \cdot 4) = 25 \cdot 8 = 200$ — или, ещё удобнее, $25 \cdot 4 \cdot 2 = 100 \cdot 2 = 200$.

Перед вычислением полезно секунду подумать: нельзя ли переставить или сгруппировать числа так, чтобы получились круглые? Это экономит время и уменьшает количество ошибок.

Проверка

• Умножение проверяют делением: $92 : 4 = 23$.
• Деление проверяют умножением: частное · делитель = делимое.
• Прикидка: $23 \cdot 4$ — это больше $20 \cdot 4 = 80$, но меньше $30 \cdot 4 = 120$. Ответ 92 в этих границах.

Типичные ошибки

• Умножать только десятки и забывать единицы: $23 \cdot 4 = 80 + 3 = 83$. Нужно умножить и единицы: $3 \cdot 4 = 12$.
• Раскладывать делимое на неудобные слагаемые: $78 : 3$ как $70 : 3 + 8 : 3$ — ни одно не делится.
• Путать умножение суммы с умножением одного слагаемого: $(20 + 3) \cdot 4 \ne 20 \cdot 4 + 3$.
• Не проверять деление умножением.

Что дальше

• Письменные алгоритмы умножения и деления — те же идеи лягут в основу умножения и деления столбиком для любых многозначных чисел.