Письменные алгоритмы умножения и деления

Зачем это нужно

Как умножить 347 на 26 или разделить 7 344 на 24? В уме такие вычисления делать тяжело, а калькулятора под рукой может не оказаться. Для этого люди придумали письменные алгоритмы — умножение и деление столбиком (деление ещё называют «уголком»).

Алгоритм — это чёткая последовательность шагов. Если выполнять шаги аккуратно, ответ получится верным для любых чисел. Эти алгоритмы — вершина арифметики начальной школы: в 5–6 классе они без изменений перейдут на десятичные дроби.

Умножение на однозначное число

Пишем множители друг под другом, однозначное число — под единицами. Умножаем справа налево, начиная с единиц, и, как в сложении столбиком, «запоминаем» десятки.

Пример: $347 \cdot 6$.

1. Единицы: $7 \cdot 6 = 42$. Пишем 2, запоминаем 4 (десятка).
2. Десятки: $4 \cdot 6 = 24$, плюс запомненные 4 — 28. Пишем 8, запоминаем 2.
3. Сотни: $3 \cdot 6 = 18$, плюс 2 — 20. Пишем 20.
4. Ответ: 2 082.

Прикидка: $350 \cdot 6 = 2\,100$ — ответ близок.

Умножение на двузначное число

Идея: $347 \cdot 26 = 347 \cdot 20 + 347 \cdot 6$. Столбик просто аккуратно записывает это разложение.

1. Умножаем на единицы: $347 \cdot 6 = 2\,082$ — первое неполное произведение.
2. Умножаем на десятки: $347 \cdot 2 = 694$. Но это десятки, поэтому пишем 694 со сдвигом на одну клетку влево (последняя цифра — под десятками). На самом деле это $6\,940$.
3. Складываем неполные произведения: $2\,082 + 6\,940 = 9\,022$.

Ответ: $347 \cdot 26 = 9\,022$.

При умножении на трёхзначное число появляется третье неполное произведение — оно сдвигается ещё на одну клетку влево (это сотни).

Нули на конце. Если множители оканчиваются нулями, умножаем без нулей, а потом приписываем их все: $340 \cdot 200 = 34 \cdot 2 \cdot 1\,000 = 68\,000$.

Деление на однозначное число

Деление столбиком выполняется слева направо — от старших разрядов к младшим.

Разобранный пример 1

Вычислите $2\,256 : 8$.

1. Первое неполное делимое. 2 тысячи на 8 не делятся (получится 0), берём 22 сотни. 22 — первое неполное делимое, значит, в частном будет три цифры (сотни, десятки, единицы).
2. $22 : 8$: подбираем, $8 \cdot 2 = 16$, $8 \cdot 3 = 24 > 22$. Пишем в частное 2. Остаток $22 - 16 = 6$.
3. Сносим следующую цифру 5: получаем 65 (десятков). $65 : 8$: $8 \cdot 8 = 64$. Пишем 8, остаток 1.
4. Сносим 6: получаем 16. $16 : 8 = 2$. Пишем 2, остаток 0.
5. Частное: 282. Проверка умножением: $282 \cdot 8 = 2\,256$ — верно.

На каждом шаге выполняется деление с остатком, и остаток всегда меньше делителя. Если получился остаток больше делителя — цифру частного нужно увеличить.

Деление на двузначное число

Главная трудность — подобрать цифру частного. Помогает округление делителя.

Разобранный пример 2

Вычислите $7\,344 : 24$.

1. Первое неполное делимое: 7 на 24 не делится, 73 — делится. Значит, в частном три цифры.
2. $73 : 24$. Округлим: $24 \approx 20$, $73 : 20 \approx 3$. Проверяем: $24 \cdot 3 = 72 \le 73$. Пишем 3, остаток $73 - 72 = 1$.
3. Сносим 4: 14. $14 < 24$ — в частное пишем 0! Остаток 14.
4. Сносим 4: 144. $144 : 24$: прикидка $140 : 20 = 7$, проверка $24 \cdot 7 = 168 > 144$ — много; пробуем 6: $24 \cdot 6 = 144$. Пишем 6, остаток 0.
5. Частное: 306. Проверка: $306 \cdot 24 = 6\,120 + 1\,224 = 7\,344$ — верно.

Обратите внимание на шаг 3: если неполное делимое меньше делителя, в частное обязательно пишут 0, иначе цифр в ответе не хватит. Число цифр, которое мы определили в начале, — надёжная проверка.

Разобранный пример 3 (с остатком)

Вычислите $1\,000 : 7$.

1. Первое неполное делимое — 10 (сотни), в частном три цифры.
2. $10 : 7 = 1$ (ост. 3); $30 : 7 = 4$ (ост. 2); $20 : 7 = 2$ (ост. 6).
3. Ответ: $1\,000 : 7 = 142$ (ост. 6). Проверка: $142 \cdot 7 + 6 = 994 + 6 = 1\,000$.

Как проверять

И всегда — прикидка: округлите множители или делимое и делитель и оцените ответ. Если $7\,344 : 24$ «примерно» $7\,000 : 25 = 280$, то ответ 306 правдоподобен, а 36 или 3 006 — нет.

Типичные ошибки

• В умножении на двузначное число не сдвигать второе неполное произведение влево.
• Забывать прибавить «запомненное» число при умножении.
• Пропускать 0 в частном: $7\,344 : 24 = 36$ вместо 306.
• Получать на каком-то шаге остаток больше делителя и не замечать этого.
• Не определять заранее число цифр в частном — тогда ошибку с пропущенным нулём трудно поймать.

Что дальше

• Задачи на движение — в задачах на движение расстояние, скорость и время связаны умножением и делением больших чисел.
• Действия с натуральными числами и их свойства — свойства действий помогут считать быстрее и проверять себя.