Решение уравнений. Раскрытие скобок и подобные слагаемые

Зачем это нужно

В 5 классе мы решали уравнения, «распаковывая» их через связь компонентов действий. Но как решить $5x - 7 = 2x + 8$, где неизвестное есть в обеих частях? Или $3(x - 4) - (x + 2) = 6$? Для этого нужны новые инструменты: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.

Это универсальный способ решения линейных уравнений — одного из главных объектов алгебры 7 класса. Им решают задачи на движение, работу, проценты, смеси и составляют формулы в физике.

Раскрытие скобок

Если перед скобками стоит «+», скобки можно опустить, сохранив знаки слагаемых:

$a + (b - c) = a + b - c.$

Если перед скобками стоит «−», скобки опускают, меняя знак каждого слагаемого в скобках на противоположный:

$a - (b - c + d) = a - b + c - d.$

Если перед скобками стоит множитель, его умножают на каждое слагаемое (распределительное свойство):

$-3(2x - 5) = -6x + 15.$

Коэффициент и подобные слагаемые

В выражении $-6x$ число $-6$ называют коэффициентом. Коэффициент при $x$ равен 1, при $-x$ равен $-1$.

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью: $5x$ и $-2x$; $3$ и $-7$. Привести подобные — сложить их коэффициенты, сохранив буквенную часть:

$5x - 2x + 3 - 7 = 3x - 4.$

Перенос слагаемых

Уравнение похоже на весы в равновесии: если с обеих чаш снять или добавить одно и то же, равновесие сохранится.

Отсюда правило переноса: любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

$5x - 7 = 2x + 8 \;\Rightarrow\; 5x - 2x = 8 + 7.$

Почему меняется знак? Мы прибавили к обеим частям $7$ и вычли из обеих $2x$: в левой части $-7 + 7 = 0$, в правой появилось $+7$; в правой $2x - 2x = 0$, в левой появилось $-2x$.

Ещё одно свойство: обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Алгоритм решения линейного уравнения

1. Раскрыть скобки (если есть).
2. Перенести слагаемые с неизвестным в одну часть, числа — в другую.
3. Привести подобные: получится $ax = b$.
4. Разделить обе части на коэффициент $a$: $x = b : a$.
5. Сделать проверку подстановкой в исходное уравнение.

Разобранный пример 1

Решите уравнение $5x - 7 = 2x + 8$.

1. Переносим: $5x - 2x = 8 + 7$.
2. Приводим подобные: $3x = 15$.
3. $x = 5$.
4. Проверка: $5 \cdot 5 - 7 = 18$, $2 \cdot 5 + 8 = 18$. Верно.

Ответ: $x = 5$.

Разобранный пример 2

Решите уравнение $3(x - 4) - (x + 2) = 6$.

1. Раскрываем скобки: $3x - 12 - x - 2 = 6$.
2. Подобные: $2x - 14 = 6$.
3. Переносим: $2x = 20$, $x = 10$.
4. Проверка: $3 \cdot 6 - 12 = 18 - 12 = 6$. Верно.

Ответ: $x = 10$.

Разобранный пример 3 (с дробями)

Решите уравнение $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 7$.

1. Умножим обе части на НОК(3, 4) = 12, чтобы избавиться от дробей: $4x + 3x = 84$.
2. $7x = 84$, $x = 12$.
3. Проверка: $\dfrac{12}{3} + \dfrac{12}{4} = 4 + 3 = 7$. Верно.

Ответ: $x = 12$.

Особые случаи

• Если после упрощения получилось $0 \cdot x = 5$ — корней нет (ни при каком $x$ ноль не станет пятью).
• Если получилось $0 \cdot x = 0$ — корень любое число.

Задача с помощью уравнения

В двух ящиках 60 кг яблок. Если из первого переложить во второй 5 кг, в ящиках станет поровну. Сколько яблок было в первом ящике?

Пусть в первом $x$ кг, тогда во втором $60 - x$. После перекладывания: $x - 5 = 60 - x + 5$. Отсюда $2x = 70$, $x = 35$. Проверка: $35 - 5 = 30$, $25 + 5 = 30$ — поровну. Ответ: 35 кг.

Уравнения и текстовые задачи

Главное умение — перевести условие на язык уравнения. Типичные слова-подсказки:

Хороший приём — обозначать буквой меньшую величину: тогда остальные выражаются через неё сложением или умножением, без дробей.

Проверяем себя

Проверка подстановкой особенно важна в уравнениях с отрицательными числами и скобками — именно там чаще всего теряются знаки. Если корень не подходит, ищите ошибку в таком порядке: раскрытие скобок со знаком минус → перенос слагаемых (сменили ли знак?) → приведение подобных → деление на отрицательный коэффициент.

Типичные ошибки

• При раскрытии скобок с минусом менять знак только у первого слагаемого: $-(x + 2) = -x + 2$.
• Переносить слагаемое, не меняя знак.
• Делить на коэффициент неверно: из $-3x = 12$ получать $x = 4$ (верно $x = -4$).
• Умножать на НОК только одну часть уравнения или только одно слагаемое.
• Делать проверку по промежуточному уравнению, а не по исходному.

Что дальше

• Выражения и тождества — в 7 классе раскрытие скобок и приведение подобных станут основой тождественных преобразований.