Натуральные числа и шкалы

Зачем это нужно

Числа 1, 2, 3, … появились у людей раньше всех остальных: ими считали овец, дни, воинов. Их называют натуральными — «естественными». В 5 классе мы посмотрим на знакомые числа по-новому: научимся изображать их точками на координатном луче и читать показания шкал — линеек, термометров, весов, спидометров.

Координатный луч — первый шаг к координатной плоскости, графикам функций и всей алгебре. А умение читать шкалы нужно в физике, химии, географии и в обычной жизни.

Натуральные числа

Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, … Записанные по порядку, они образуют натуральный ряд.

Свойства натурального ряда:

• у него есть первое (наименьшее) число — 1;
• у каждого числа есть следующее — на 1 больше; поэтому наибольшего натурального числа нет: к любому числу можно прибавить 1;
• у каждого числа, кроме 1, есть предыдущее — на 1 меньше.

Число 0 не является натуральным: им не считают предметы, а обозначают их отсутствие. Но 0 нужен для записи чисел (105, 2000) и как начало отсчёта на шкалах.

Отрезок, луч, прямая

Вспомним фигуры, которые понадобятся для шкал:

• отрезок $AB$ — часть прямой между точками $A$ и $B$; у него есть длина;
• луч $OA$ — часть прямой, у которой есть начало ($O$), но нет конца;
• прямая не имеет ни начала, ни конца.

Длина отрезка — это расстояние между его концами. Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то $AB = AC + CB$.

Шкалы

Шкала — это линия с делениями (штрихами), около некоторых из которых подписаны числа. Шкалы есть у линейки, термометра, весов, спидометра, мерного стакана.

Самое важное в шкале — цена деления: сколько единиц приходится на промежуток между соседними штрихами.

Как найти цену деления:

1. Возьмите два соседних подписанных штриха, например 20 и 30.
2. Найдите разность чисел: $30 - 20 = 10$.
3. Посчитайте число промежутков (а не штрихов!) между ними, например 5.
4. Разделите: $10 : 5 = 2$ — цена деления 2 единицы.

Разобранный пример 1

На шкале подписи 20 и 30, между ними 5 промежутков. Указатель стоит на третьем штрихе после 20. Что показывает прибор?

1. Цена деления: $(30 - 20) : 5 = 2$.
2. Три деления после 20: $20 + 3 \cdot 2 = 26$.
3. Проверка: от 26 до 30 два деления, $26 + 2 \cdot 2 = 30$ — сходится.

Ответ: 26.

Координатный луч

Начертим луч с началом в точке $O$ и отметим на нём единичный отрезок $OE$ (например, 1 см или 2 клетки). Отложим этот отрезок ещё раз, ещё и ещё и подпишем числа: 0 у начала, 1, 2, 3, … Получилась шкала, которую называют координатным лучом.

Число, соответствующее точке на луче, называют координатой этой точки. Пишут $A(3)$ — «точка $A$ с координатой 3».

• Координата показывает, сколько единичных отрезков от начала $O$ до точки.
• Начало луча $O$ имеет координату 0.

Единичный отрезок выбирают удобным: если нужно отметить числа до 1000, единичный отрезок 1 см не подойдёт — выбирают, например, «1 клетка = 100».

Сравнение натуральных чисел

Из двух натуральных чисел меньше то, которое в натуральном ряду стоит раньше, а на координатном луче — левее. Записывают это знаками: $5 < 8$, $8 > 5$.

Двойное неравенство $3 < x < 7$ означает, что $x$ больше 3 и меньше 7. Натуральные числа, удовлетворяющие ему: 4, 5, 6.

Разобранный пример 2

Сколько натуральных чисел $x$ удовлетворяют неравенству $95 < x < 104$?

1. Подходящие числа: 96, 97, …, 103.
2. Их количество: $103 - 96 + 1 = 8$.
3. Проверка перечислением: 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103 — восемь чисел.

Ответ: 8.

Обратите внимание: числа 95 и 104 не входят — неравенства строгие.

Расстояние между точками луча

Если на луче отмечены точки $A(3)$ и $B(10)$, то длина отрезка $AB$ в единичных отрезках равна разности координат: $10 - 3 = 7$. Из большей координаты вычитаем меньшую.

Типичные ошибки

• Считать 0 натуральным числом.
• При нахождении цены деления делить на число штрихов, а не промежутков.
• Выбирать на координатном луче неравные единичные отрезки — тогда шкала «врёт».
• Включать концы в строгое неравенство: в $3 < x < 7$ числа 3 и 7 не подходят.
• Считать количество чисел от 96 до 103 как $103 - 96 = 7$, забывая прибавить 1.

Что дальше

• Действия с натуральными числами и их свойства — повторим и обобщим действия с натуральными числами и их свойства.
• Положительные и отрицательные числа. Модуль — продолжим луч влево от нуля и получим отрицательные числа и координатную прямую.