Многозначные числа. Классы и разряды

Зачем это нужно

В России живёт около 146 миллионов человек, расстояние от Земли до Луны — около 384 тысяч километров, стоимость квартиры — несколько миллионов рублей. Такие большие числа встречаются в новостях, в географии, в экономике. Чтобы их правильно читать, записывать и сравнивать, нужно понять, как устроена запись многозначного числа.

Хорошая новость: правило одно, и вы его уже знаете по числам до 1000. Большие числа — это просто несколько «трёхзначных кусочков», которые называются классами.

Разряды

Вспомним: в записи числа у каждой цифры своё место — разряд. Справа налево: единицы, десятки, сотни. Дальше всё повторяется, но для тысяч:

Каждый следующий разряд в 10 раз больше предыдущего: 10 единиц — десяток, 10 десятков — сотня, 10 сотен — тысяча, 10 тысяч — десять тысяч, и так далее.

Классы

Три разряда подряд — единицы, десятки, сотни — образуют класс. Справа налево идут:

1. класс единиц (единицы, десятки, сотни);
2. класс тысяч (единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч);
3. класс миллионов;
4. класс миллиардов.

Чтобы большое число было легко читать, классы отделяют друг от друга небольшим пробелом: 47 305 218.

Как читать многозначное число

1. Разбейте число на классы по три цифры справа налево: 47305218 → 47 305 218.
2. Читайте классы слева направо, называя после каждого класса (кроме класса единиц) его название.

47 305 218 — «сорок семь миллионов триста пять тысяч двести восемнадцать».

Если в классе одни нули, его название не произносят: 5 000 012 — «пять миллионов двенадцать».

Как записать число цифрами

Разобранный пример 1

Запишите цифрами: «два миллиона шестьдесят тысяч четыре».

1. Класс миллионов: 2.
2. Класс тысяч: «шестьдесят» — это 060 (в каждом классе, кроме самого левого, должно быть ровно три цифры).
3. Класс единиц: «четыре» — 004.
4. Получаем: 2 060 004.
5. Проверка: читаем по классам — «два миллиона шестьдесят тысяч четыре». Совпало.

Главная ошибка здесь — потерять нули: записать «2 60 4» или «2604». Помните: каждый класс, кроме первого слева, — это ровно три цифры.

Разрядные слагаемые

Многозначное число можно разложить на разрядные слагаемые, как и трёхзначное:

$305\,218 = 300\,000 + 5\,000 + 200 + 10 + 8.$

Полезно также уметь отвечать на вопрос «сколько всего тысяч в числе». В числе 47 305 218 всего 47 305 тысяч — это все цифры слева от класса единиц.

Сравнение многозначных чисел

1. Больше то число, в котором больше цифр (если нет нулей впереди): $100\,000 > 99\,999$.
2. Если цифр поровну, сравнивают поразрядно слева направо до первого различия: $523\,410 > 523\,401$, потому что в разряде десятков $1 > 0$.

Увеличение и уменьшение в 10, 100, 1000 раз

Умножить на 10 — значит сдвинуть каждую цифру на один разряд влево, то есть приписать справа нуль: $347 \cdot 10 = 3\,470$, $347 \cdot 1\,000 = 347\,000$.

Разделить круглое число на 10, 100, 1000 — отбросить справа один, два или три нуля: $52\,000 : 100 = 520$.

Округление

Часто точное значение не нужно: «в городе около 300 тысяч жителей». Чтобы округлить число до какого-то разряда:

1. Найдите цифру этого разряда.
2. Посмотрите на цифру справа от неё. Если она 0, 1, 2, 3 или 4 — цифру разряда оставляем; если 5, 6, 7, 8 или 9 — увеличиваем на 1.
3. Все цифры правее заменяем нулями.

Разобранный пример 2

Округлите 47 305 218 до тысяч и до миллионов.

1. До тысяч: цифра разряда единиц тысяч — 5; справа от неё 2 (меньше 5) — оставляем. Получаем 47 305 000.
2. До миллионов: цифра единиц миллионов — 7; справа от неё 3 — оставляем. Получаем 47 000 000.

Пишут: $47\,305\,218 \approx 47\,000\,000$. Знак $\approx$ читается «приближённо равно».

Типичные ошибки

• Разбивать на классы слева направо: 4 730 521 8 вместо 47 305 218. Разбиваем всегда справа.
• Терять нули внутри классов при записи: «два миллиона шестьдесят тысяч» как 260 000.
• Называть класс единиц: «двести восемнадцать единиц» — так не говорят.
• При округлении забывать заменить цифры справа нулями: 47 305 218 ≈ 47 305 218.
• Сравнивать числа с разным количеством цифр по первой цифре: $9\,999 > 10\,000$ — неверно.

Что дальше

• Письменные алгоритмы умножения и деления — научимся умножать и делить многозначные числа столбиком.
• Величины и перевод единиц — 1 км = 1 000 м, 1 т = 1 000 кг: перевод единиц опирается на разряды.
• Таблицы и диаграммы — большие числа часто показывают на диаграммах.
• Натуральные числа и шкалы — в 5 классе натуральные числа окажутся на координатном луче и шкалах.