Положительные и отрицательные числа. Модуль

Зачем это нужно

Зимой термометр показывает −15°, на счёте в банке бывает долг, Мёртвое море лежит на 430 м ниже уровня океана, а лифт опускается на минус второй этаж — в подземный паркинг. Натуральных чисел и нуля уже не хватает: нужны числа, которые показывают величины ниже нуля или изменения в противоположную сторону. Это отрицательные числа.

С появлением отрицательных чисел арифметика становится полной: теперь из любого числа можно вычесть любое. Без них не обойтись в алгебре, физике (заряды, проекции скоростей), географии и экономике.

Положительные и отрицательные числа

Числа со знаком «+» (его часто не пишут) называют положительными: $+5 = 5$, $3{,}2$, $\frac{1}{2}$. Числа со знаком «−» — отрицательными: $-5$, $-3{,}2$, $-\frac{1}{2}$.

Число 0 ни положительное, ни отрицательное — оно разделяет их.

Координатная прямая

Продолжим координатный луч влево от нуля, откладывая те же единичные отрезки. Получится координатная прямая: справа от 0 — положительные числа, слева — отрицательные.

Координатная прямая — как вертикальный термометр, положенный на бок: чем правее точка, тем больше число.

Противоположные числа

Два числа, которые отличаются только знаком, называют противоположными: 4 и −4, 2,5 и −2,5. На координатной прямой они расположены симметрично относительно нуля — на одинаковом расстоянии от него, но по разные стороны.

Число, противоположное $a$, обозначают $-a$. Тогда $-(-4) = 4$: противоположное к противоположному — само число. Число 0 противоположно самому себе.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Рациональные числа — числа, которые можно записать дробью $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, $n$ — натуральное. К ним относятся все целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби — положительные и отрицательные.

Модуль числа

Модуль (абсолютная величина) числа — это расстояние от нуля до точки, изображающей это число на координатной прямой. Обозначают $|a|$.

$|4| = 4, \qquad |-4| = 4, \qquad |0| = 0, \qquad |-2{,}5| = 2{,}5.$

Правило:

• модуль положительного числа равен самому числу;
• модуль отрицательного числа равен противоположному числу;
• модуль нуля равен нулю.

Модуль никогда не бывает отрицательным — ведь расстояние не может быть меньше нуля. У противоположных чисел модули равны.

Сравнение чисел

На координатной прямой больше то число, которое правее. Отсюда правила:

• любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного: $0{,}1 > -100$;
• любое отрицательное число меньше нуля: $-0{,}001 < 0$;
• из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше: $-3 > -7$, потому что $|-3| = 3 < 7 = |-7|$.

Последнее правило проще всего понять по термометру: −3° теплее, чем −7°.

Разобранный пример 1

Расположите в порядке возрастания: $-5$; $2$; $-0{,}5$; $0$; $-12$; $|-3|$.

1. Вычислим модуль: $|-3| = 3$.
2. Отрицательные: $-12$, $-5$, $-0{,}5$. Чем больше модуль, тем меньше число: $-12 < -5 < -0{,}5$.
3. Дальше 0, затем положительные: $2 < 3$.

Ответ: $-12$; $-5$; $-0{,}5$; $0$; $2$; $|-3|$.

Разобранный пример 2

Сколько целых чисел лежит между $-4{,}5$ и $3$ (не считая концов)?

1. Целые числа, большие $-4{,}5$ и меньшие 3: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$.
2. Их 7.
3. Проверка на прямой: от −4 до 2 — семь делений-точек.

Ответ: 7.

Изменение величин

Отрицательные числа удобны, чтобы описывать изменения: рост температуры на 5° — это $+5$, понижение — $-5$; доход $+1\,000$ рублей, расход $-1\,000$. Положительное изменение означает увеличение, отрицательное — уменьшение.

Где встречаются отрицательные числа

• Температура: −15° — на 15 градусов ниже нуля.
• Высота над уровнем моря: −28 м у Каспийского моря, +5 642 м у вершины Эльбруса.
• Финансы: баланс −500 рублей означает долг.
• Время: в истории годы «до нашей эры» иногда записывают как отрицательные.
• Этажи: −1 и −2 — подземные уровни.

Во всех примерах есть точка отсчёта (ноль), и величины по разные стороны от неё имеют разные знаки. Поэтому для отрицательных чисел так удобна координатная прямая.

Типичные ошибки

• Считать, что $-7 > -3$, «потому что 7 больше 3». На прямой −7 левее −3.
• Думать, что модуль «убирает минус и всё»: $|-a|$ при $a = -5$ равен 5, а не −5.
• Считать 0 положительным числом.
• Получать отрицательный модуль: $|-6| = -6$ — неверно.
• Путать противоположные числа ($3$ и $-3$) с обратными ($3$ и $\frac{1}{3}$).

Что дальше

• Действия с рациональными числами — научимся складывать, вычитать, умножать и делить числа с разными знаками.
• Координатная плоскость — две координатные прямые под прямым углом дадут координатную плоскость.
• Модуль числа и расстояние на числовой прямой — в 8 классе модуль станет расстоянием между точками прямой и появится в уравнениях.