Степень числа. Квадрат и куб

Зачем это нужно

Сумму одинаковых слагаемых мы научились коротко записывать умножением: $5 + 5 + 5 = 5 \cdot 3$. А как коротко записать произведение одинаковых множителей, например $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$? Для этого придумали степень: $2^{10}$.

Степени повсюду: площадь квадрата — это квадрат длины стороны, объём куба — куб ребра, а в информатике $2^{10} = 1\,024$ байта образуют килобайт. В 7 классе степени станут одним из главных инструментов алгебры, а в физике с их помощью записывают огромные и крошечные величины.

Что такое степень

Произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$, называют $n$-й степенью числа $a$ и записывают $a^n$:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}.$

• $a$ — основание степени: какое число умножают;
• $n$ — показатель степени: сколько раз это число берут множителем.

Например, $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. Читают: «три в четвёртой степени».

Первая степень числа — само число: $a^1 = a$.

Квадрат и куб

Вторую и третью степени называют особо — по геометрическим фигурам.

• Квадрат числа $a^2 = a \cdot a$ — площадь квадрата со стороной $a$. Читают «$a$ в квадрате».
• Куб числа $a^3 = a \cdot a \cdot a$ — объём куба с ребром $a$. Читают «$a$ в кубе».

Таблицу квадратов чисел от 1 до 20 полезно знать наизусть:

И несколько кубов: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$, $10^3 = 1\,000$.

Степени чисел 10, 1 и 0

• $10^2 = 100$, $10^3 = 1\,000$, $10^6 = 1\,000\,000$ — у степени десятки столько нулей, каков показатель.
• $1^n = 1$ при любом $n$: сколько единиц ни перемножай, получится 1.
• $0^n = 0$ при любом натуральном $n$.

Степень и порядок действий

Возведение в степень выполняется раньше умножения и деления:

1. действия в скобках;
2. возведение в степень;
3. умножение и деление;
4. сложение и вычитание.

Разобранный пример 1

Вычислите $2 \cdot 5^2$ и $(2 \cdot 5)^2$.

1. $2 \cdot 5^2$: сначала степень $5^2 = 25$, потом умножение $2 \cdot 25 = 50$.
2. $(2 \cdot 5)^2$: сначала скобки $2 \cdot 5 = 10$, потом степень $10^2 = 100$.
3. Видно, что скобки меняют результат в два раза.

Ответ: 50 и 100.

Разобранный пример 2

Вычислите $3^3 - 4^2 + 2^5$.

1. $3^3 = 27$, $4^2 = 16$, $2^5 = 32$.
2. $27 - 16 + 32 = 43$.
3. Проверка: можно пересчитать $2^5$ удвоениями — 2, 4, 8, 16, 32. Верно.

Ответ: 43.

Степени двойки

Удваивая, легко получить степени двойки: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$, $2^6 = 64$, $2^7 = 128$, $2^8 = 256$, $2^9 = 512$, $2^{10} = 1\,024$. Они растут очень быстро. Знаменитая легенда о шахматной доске: если на первую клетку положить 1 зерно, на вторую 2, на третью 4 и так далее, то на 64-й клетке окажется $2^{63}$ зёрен — больше, чем пшеницы, собранной человечеством за всю историю.

Где встречаются степени

• Площадь и объём. Площадь квадрата со стороной 7 см — $7^2 = 49$ см², объём куба с ребром 7 см — $7^3 = 343$ см³. Отсюда и названия «квадрат» и «куб».
• Большие числа. Расстояние от Земли до Солнца — около 150 000 000 км. Учёные пишут короче: $1{,}5 \cdot 10^8$ км. Такую запись вы изучите в 8 классе.
• Информатика. Память компьютера измеряют степенями двойки: 1 килобайт = $2^{10}$ = 1 024 байта.
• Рост и размножение. Если число чего-то удваивается каждый день, через неделю оно вырастет в $2^7 = 128$ раз.

Обратите внимание, как быстро растут степени: $2^{10}$ — уже больше тысячи, а $2^{20}$ — больше миллиона. Такой рост называют показательным; о нём подробно поговорим в 10 классе.

Типичные ошибки

• Умножать основание на показатель: $3^4 = 12$. Правильно: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
• Путать $2^3$ и $3^2$: это 8 и 9 — разные числа.
• Нарушать порядок действий: в $2 \cdot 5^2$ сначала умножать: $10^2 = 100$. Правильно: $2 \cdot 25 = 50$.
• Думать, что $1^{10} = 10$. Любая степень единицы равна 1.
• Считать, что $10^3$ — это «десять и три нуля» = 10 000. Правильно: $10^3 = 1\,000$ — три нуля.

Что дальше

• Площадь и объём. Прямоугольный параллелепипед — квадрат и куб числа понадобятся для площади квадрата и объёма куба.
• Степень с натуральным показателем и её свойства — в 7 классе изучим свойства степеней: как умножать и делить степени, возводить степень в степень.