Площадь и объём. Прямоугольный параллелепипед

Зачем это нужно

Сколько воды поместится в аквариум? Сколько коробок войдёт в грузовик? Сколько бумаги нужно, чтобы обклеить коробку? Первые два вопроса — про объём, третий — про площадь поверхности. Чтобы на них отвечать, нужно познакомиться с одной из самых распространённых форм в мире — прямоугольным параллелепипедом: такую форму имеют коробки, кирпичи, книги, комнаты и контейнеры.

Эта тема — первое знакомство со стереометрией, геометрией пространства. В 10–11 классе вы изучите объёмы призм, пирамид, цилиндров и шаров, но всё начинается здесь.

Площадь и её единицы — повторение

Площадь прямоугольника $S = ab$, площадь квадрата $S = a^2$.

Ары и гектары используют для земельных участков: «дача 6 соток» — это 600 м².

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, ограниченная шестью прямоугольниками. Эти прямоугольники — грани, их стороны — рёбра, а точки, где сходятся рёбра, — вершины.

Длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, называют измерениями: длина $a$, ширина $b$, высота $c$.

Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны. Все 6 граней куба — равные квадраты.

Разобранный пример 1

Найдите сумму длин всех рёбер и площадь поверхности коробки 5 см × 4 см × 3 см.

1. Рёбер каждой длины по 4: сумма $4 \cdot (5 + 4 + 3) = 48$ см.
2. Грани — три пары равных прямоугольников: $5 \times 4$, $5 \times 3$, $4 \times 3$.
3. Площадь поверхности: $S = 2(5 \cdot 4 + 5 \cdot 3 + 4 \cdot 3) = 2(20 + 15 + 12) = 94$ см².

Ответ: 48 см и 94 см².

Формула площади поверхности: $S = 2(ab + ac + bc)$, для куба $S = 6a^2$.

Объём

Объём показывает, сколько места занимает тело. Его измеряют кубическими единицами — кубами с ребром 1:

• 1 см³ — куб с ребром 1 см (размером примерно с игральный кубик);
• 1 дм³ — куб с ребром 1 дм; объём 1 дм³ называют литром (1 л);
• 1 м³ — куб с ребром 1 м.

Чтобы узнать объём параллелепипеда, сосчитаем, сколько в нём единичных кубиков. Пусть коробка 5 см × 4 см × 3 см. На дно помещается $5 \cdot 4 = 20$ кубиков — это один слой. Слоёв столько, какова высота: 3. Всего $20 \cdot 3 = 60$ кубиков.

$V = abc, \qquad V = S_{\text{осн}} \cdot c, \qquad V_{\text{куба}} = a^3.$

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, или площади основания, умноженной на высоту.

Единицы объёма: почему 1 000

1 дм = 10 см, поэтому в кубе с ребром 1 дм помещается $10 \cdot 10 = 100$ кубиков в слое и 10 слоёв:

$1 \text{ дм}^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000 \text{ см}^3.$

Правило: если единица длины больше в 10 раз, единица площади больше в 100 раз, а единица объёма — в 1 000 раз.

Разобранный пример 2

Аквариум имеет размеры 50 см × 30 см × 40 см. Сколько литров воды в него поместится?

1. $V = 50 \cdot 30 \cdot 40 = 60\,000$ см³.
2. $1 \text{ л} = 1\,000 \text{ см}^3$, значит $60\,000 : 1\,000 = 60$ л.
3. Проверка в дециметрах: 5 дм × 3 дм × 4 дм $= 60$ дм³ $= 60$ л. Совпало.

Ответ: 60 л.

Разобранный пример 3 (обратная задача)

Объём бассейна 96 м³, длина 8 м, ширина 4 м. Какова глубина?

1. Площадь дна: $8 \cdot 4 = 32$ м².
2. Глубина: $96 : 32 = 3$ м.

Ответ: 3 м.

Типичные ошибки

• Путать площадь поверхности и объём: складывать площади граней, когда спрашивают объём.
• Перемножать измерения в разных единицах: 1 м × 50 см × 20 см нужно сначала перевести в одни единицы.
• Считать, что 1 м³ = 100 дм³. Для объёма множитель — $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000$.
• Забывать, что у параллелепипеда 12 рёбер, а не 6 или 8.
• Писать единицы площади в ответе об объёме: «60 см²» вместо «60 см³».

Что дальше

• Длина окружности и площадь круга — от прямоугольников перейдём к кругу: длина окружности и площадь круга.
• Начальные сведения из стереометрии — в 9 классе вернёмся к пространственным фигурам: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар.