Длина окружности и площадь круга

Зачем это нужно

Колёса, тарелки, часы, монеты, клумбы, арены — круглых вещей вокруг очень много. Сколько метров проедет велосипед за один оборот колеса? Сколько нужно бордюра, чтобы обложить круглую клумбу, и сколько земли в ней? Для ответа нужны формулы длины окружности и площади круга, а в них появляется одно из самых знаменитых чисел математики — $\pi$.

Эти формулы пригодятся в геометрии 9 класса (правильные многоугольники), в стереометрии (цилиндр, конус, шар) и в физике (движение по окружности, вращение).

Окружность и круг

Окружность — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью (вместе с ней).

• Радиус $r$ — отрезок от центра до точки окружности (и его длина).
• Диаметр $d$ — отрезок через центр, соединяющий две точки окружности. $d = 2r$.

Число π

Возьмите банку, обмотайте её ниткой, измерьте нитку и диаметр банки. Разделите длину нитки на диаметр. С чашкой, тарелкой, колесом — для любой окружности получится одно и то же число, примерно 3,14. Его обозначают греческой буквой $\pi$ («пи»):

$\pi = \frac{C}{d} \approx 3{,}14.$

Точно записать $\pi$ десятичной дробью невозможно: после запятой бесконечно много цифр без повторяющегося периода: $\pi = 3{,}14159265\ldots$ В задачах обычно берут $\pi \approx 3{,}14$ или $\pi \approx \dfrac{22}{7}$.

Длина окружности

Из определения $\pi$:

$C = \pi d = 2\pi r.$

Разобранный пример 1

Диаметр колеса велосипеда 70 см. Какое расстояние проедет велосипед за 100 оборотов колеса? ($\pi \approx \frac{22}{7}$)

1. За один оборот — длина окружности: $C = \pi d \approx \frac{22}{7} \cdot 70 = 220$ см.
2. За 100 оборотов: $220 \cdot 100 = 22\,000$ см $= 220$ м.
3. Прикидка: длина окружности чуть больше трёх диаметров, $3 \cdot 70 = 210$ см — близко.

Ответ: примерно 220 м.

Площадь круга

$S = \pi r^2.$

Откуда это? Разрежем круг на много узких секторов и сложим их «ёлочкой» — получится фигура, почти совпадающая с прямоугольником. Его высота — радиус $r$, а длина — половина окружности $\pi r$. Площадь: $\pi r \cdot r = \pi r^2$.

Внимание: в формулу площади входит радиус, а не диаметр. Если дан диаметр, сначала найдите радиус: $r = d : 2$.

Разобранный пример 2

Найдите площадь круглой клумбы диаметром 6 м. ($\pi \approx 3{,}14$)

1. Радиус: $r = 6 : 2 = 3$ м.
2. $S = \pi r^2 \approx 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26$ м².
3. Прикидка: круг меньше описанного квадрата $6 \times 6 = 36$ м², но больше половины его — ответ правдоподобен.

Ответ: около 28,26 м².

Как меняются длина и площадь

• Если радиус увеличить в 2 раза, длина окружности увеличится в 2 раза (прямая пропорциональность).
• А площадь — в 4 раза ($2^2$), потому что радиус входит в квадрате.

Пицца диаметром 30 см больше пиццы диаметром 20 см по площади в $\frac{15^2}{10^2} = 2{,}25$ раза — это стоит учитывать при покупке!

Шар и сфера

Шар — тело, все точки которого удалены от центра не больше, чем на радиус. Его поверхность называют сферой. Мяч, глобус, капля воды в невесомости имеют форму шара. Формулы объёма и площади поверхности шара вы узнаете в 11 классе: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, $S = 4\pi r^2$.

История вопроса

Число $\pi$ знали уже в Древнем Вавилоне и Египте (там брали примерно 3,16). Архимед в III веке до н. э. доказал, что $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$, — отсюда приближение $\frac{22}{7}$. Обозначение $\pi$ ввёл в 1706 году Уильям Джонс, а популярным его сделал Леонард Эйлер. Сегодня компьютеры вычислили триллионы знаков $\pi$, но для расчётов в технике хватает десятка.

Сектор и полукруг

Часть круга, ограниченная двумя радиусами, называется сектором (как кусок пиццы). Если угол сектора $90^\circ$, это четверть круга, и его площадь равна $\frac{1}{4}\pi r^2$; полукруг — половина: $\frac{1}{2}\pi r^2$. На круговых диаграммах как раз изображают секторы: их площади пропорциональны долям данных.

Типичные ошибки

• Подставлять в формулу площади диаметр вместо радиуса.
• Путать формулы: $C = 2\pi r$ (длина, линейные единицы) и $S = \pi r^2$ (площадь, квадратные единицы).
• Писать в ответе длины окружности единицы площади и наоборот.
• Считать, что $\pi = 3{,}14$ точно. Это лишь приближение, поэтому ответ — тоже приближённый.
• Думать, что при удвоении радиуса площадь удваивается.

Что дальше

• Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга — в 9 классе узнаем, как формулы окружности связаны с правильными многоугольниками, и найдём длину дуги и площадь сектора.