Умножение и деление дробей

Зачем это нужно

Сколько стоят $\dfrac{3}{4}$ кг сыра по 800 рублей за килограмм? Сколько пакетов по $\dfrac{1}{3}$ кг получится из 2 кг крупы? Какова площадь участка $\dfrac{2}{3}$ км на $\dfrac{3}{5}$ км? Это задачи на умножение и деление дробей.

Хорошая новость: умножать и делить дроби проще, чем складывать, — общий знаменатель не нужен. Эти действия завершают арифметику обыкновенных дробей; дальше дроби станут частью алгебраических выражений и формул физики.

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители и перемножить знаменатели:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}.$

Почему так? Найдём площадь прямоугольника $\dfrac{2}{3}$ на $\dfrac{4}{5}$ в единичном квадрате.

Квадрат разрезали на $3 \cdot 5 = 15$ одинаковых клеток — это знаменатель. Закрашено $2 \cdot 4 = 8$ клеток — числитель. Площадь $\dfrac{8}{15}$.

Умножение на натуральное число: $\dfrac{3}{8} \cdot 4 = \dfrac{3 \cdot 4}{8} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$.

Смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби: $2\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{6} = 3\dfrac{1}{3}$.

Сокращайте до умножения

Сокращать удобно до перемножения — числа меньше, ошибок меньше. Можно сокращать любой числитель с любым знаменателем:

$\frac{9}{14} \cdot \frac{7}{12} = \frac{\overset{3}{\cancel{9}} \cdot \overset{1}{\cancel{7}}}{\underset{2}{\cancel{14}} \cdot \underset{4}{\cancel{12}}} = \frac{3}{8}.$

Дробь от числа

Найти $\dfrac{3}{4}$ от 800 — значит умножить 800 на $\dfrac{3}{4}$:

$800 \cdot \frac{3}{4} = \frac{800 \cdot 3}{4} = 600.$

Это то же правило, что мы знаем с 3 класса (разделить на знаменатель, умножить на числитель), только записанное умножением.

Взаимно обратные числа

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными: $\dfrac{3}{4}$ и $\dfrac{4}{3}$, $5$ и $\dfrac{1}{5}$, $2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$ и $\dfrac{2}{5}$.

Чтобы получить число, обратное дроби, её «переворачивают»: $\dfrac{a}{b} \to \dfrac{b}{a}$. У нуля обратного числа нет.

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.$

Почему? Деление — действие, обратное умножению: если $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = x$, то $x \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}$ — проверьте, умножив.

Наглядно: сколько раз $\dfrac{1}{3}$ кг помещается в 2 кг? В каждом килограмме 3 трети, в двух — 6. И правда, $2 : \dfrac{1}{3} = 2 \cdot 3 = 6$. Деление на дробь меньше единицы увеличивает число — это нормально!

Разобранный пример 1

Вычислите $\dfrac{5}{6} : \dfrac{10}{9}$.

1. Заменяем деление умножением на обратное: $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10}$.
2. Сокращаем: 5 и 10 на 5, 9 и 6 на 3: $\dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{3}{4}$.
3. Проверка умножением: $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10}{9} = \dfrac{30}{36} = \dfrac{5}{6}$. Верно.

Ответ: $\dfrac{3}{4}$.

Число по его дроби

Если $\dfrac{2}{7}$ числа равны 18, то число равно $18 : \dfrac{2}{7} = 18 \cdot \dfrac{7}{2} = 63$.

Чтобы найти число по его дроби, нужно известную часть разделить на эту дробь.

Разобранный пример 2

Ученик прочитал 120 страниц, что составляет $\dfrac{3}{5}$ книги. Сколько страниц в книге?

1. Число по дроби: $120 : \dfrac{3}{5} = 120 \cdot \dfrac{5}{3} = 200$.
2. Проверка: $\dfrac{3}{5}$ от 200 — это $200 \cdot \dfrac{3}{5} = 120$. Верно.

Ответ: 200 страниц.

Как отличить задачи

Подсказка: часть всегда меньше целого (если дробь правильная). Если ответ «целого» получился меньше «части» — действие выбрано неверно.

Умножение и деление и порядок действий

Свойства умножения для дробей те же, что для натуральных чисел. Поэтому выражения вроде $\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{9} + \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{9}$ удобно считать, вынося общий множитель: $\frac{4}{7} \cdot \left(\frac{5}{9} + \frac{4}{9}\right) = \frac{4}{7} \cdot 1 = \frac{4}{7}$. Прежде чем вычислять «в лоб», поищите такие возможности — с дробями это особенно экономит силы.

Полезно помнить, как меняется число:

• умножение на правильную дробь уменьшает число ($20 \cdot \frac{3}{4} = 15$);
• умножение на неправильную дробь, большую 1, увеличивает его;
• деление на правильную дробь увеличивает число ($20 : \frac{3}{4} = 26\frac{2}{3}$).

Дробные выражения

Запись $\dfrac{2{,}4 \cdot 0{,}5}{3}$ или $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$ называют дробным выражением: черта означает деление. $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$.

История вопроса

Правило «чтобы разделить на дробь, умножь на перевёрнутую» знали ещё индийские математики. Брахмагупта в VII веке писал о делении дробей как о перестановке числителя и знаменателя делителя и последующем умножении. В европейские учебники это правило вошло в эпоху Возрождения и с тех пор почти не изменилось.

Типичные ошибки

• Приводить к общему знаменателю при умножении — это не нужно.
• При делении переворачивать делимое, а не делитель.
• Умножать смешанные числа «по частям»: $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \ne 2 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$.
• Путать «дробь от числа» и «число по дроби».
• Удивляться, что при делении на $\frac{1}{3}$ число увеличилось, и «исправлять» правильный ответ.

Что дальше

• Отношения и пропорции — отношения и пропорции опираются на деление дробей.
• Длина окружности и площадь круга — в формулах длины окружности и площади круга появится число $\pi \approx \frac{22}{7}$.
• Действия с рациональными числами — действия с дробями распространятся на отрицательные числа.
• Случайные события. Классическая вероятность — вероятность записывается дробью, а произведение вероятностей — умножением дробей.