Действия с рациональными числами

Зачем это нужно

Температура была $-8^\circ$ и поднялась на $5^\circ$ — сколько стало? На счёте −300 рублей долга, пришло 1 000 — каков баланс? Чтобы считать такие изменения, нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить числа с разными знаками.

Эти правила — фундамент всей алгебры. С 7 класса почти каждое выражение и уравнение будет содержать отрицательные числа, и ошибка в знаке — самая частая причина неверных ответов. Поэтому правила знаков нужно знать твёрдо и понимать, откуда они берутся.

Сложение на координатной прямой

Прибавить положительное число — сдвинуться вправо, отрицательное — влево.

Так легко понять правила, но для больших чисел и дробей удобнее формулировки.

Правила сложения

Числа с одинаковыми знаками: сложить модули и поставить их общий знак.

$(-5) + (-7) = -12, \qquad 4{,}5 + 2 = 6{,}5.$

Долг 5 рублей плюс долг 7 рублей — долг 12 рублей.

Числа с разными знаками: из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем.

$(-8) + 5 = -3, \qquad 12 + (-7) = 5, \qquad -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}.$

Если модули равны, сумма противоположных чисел равна нулю: $(-6) + 6 = 0$.

Вычитание

Вычесть число — значит прибавить противоположное:

$a - b = a + (-b).$

$3 - 10 = 3 + (-10) = -7, \qquad -4 - (-9) = -4 + 9 = 5, \qquad -2 - 6 = -8.$

Особенно важно: минус на минус в вычитании даёт плюс: $-(-9) = +9$.

Умножение и деление

Правило знаков одинаково для умножения и деления:

Одинаковые знаки — плюс, разные — минус. Модуль результата — произведение (частное) модулей.

$(-6) \cdot (-4) = 24, \qquad (-6) \cdot 4 = -24, \qquad (-36) : 9 = -4, \qquad (-36) : (-9) = 4.$

Почему минус на минус даёт плюс

Посмотрите на закономерность: $(-3) \cdot 2 = -6$, $(-3) \cdot 1 = -3$, $(-3) \cdot 0 = 0$. Каждый раз, уменьшая второй множитель на 1, мы прибавляем 3. Продолжим: $(-3) \cdot (-1) = 3$, $(-3) \cdot (-2) = 6$. Иначе нарушилось бы распределительное свойство — а оно должно работать для всех чисел.

Знак произведения нескольких множителей: если отрицательных множителей чётное число — результат положительный, если нечётное — отрицательный. $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6$ (три минуса).

Свойства действий

Все свойства сложения и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное) верны и для рациональных чисел. Это позволяет считать удобно:

$-17 + 45 + 17 - 5 = (-17 + 17) + (45 - 5) = 40.$

Разобранный пример 1

Вычислите $-2{,}5 \cdot 4 - (-18) : (-6)$.

1. Умножение: $-2{,}5 \cdot 4 = -10$.
2. Деление: $(-18) : (-6) = 3$.
3. Вычитание: $-10 - 3 = -13$.
4. Проверка знаков: в первом произведении один минус — результат отрицательный; в частном два минуса — положительный. Верно.

Ответ: $-13$.

Разобранный пример 2

Температура была $-8^\circ$, днём поднялась на $11^\circ$, а к вечеру опустилась на $6^\circ$. Какой стала температура?

1. $-8 + 11 = 3$.
2. $3 - 6 = -3$.
3. Одним выражением: $-8 + 11 - 6 = -3$.

Ответ: $-3^\circ$.

Раскрытие скобок со знаком минус

Если перед скобками стоит «−», при раскрытии все знаки в скобках меняются: $-(a - b + c) = -a + b - c$. Например, $10 - (4 - 7) = 10 - 4 + 7 = 13$. Это правило понадобится в следующей теме — при решении уравнений.

Сложение: удобные приёмы

При сложении нескольких чисел с разными знаками удобно отдельно сложить все положительные, отдельно — все отрицательные, а потом сложить два результата:

$-7 + 12 - 5 + 8 - 3 = (12 + 8) + (-7 - 5 - 3) = 20 - 15 = 5.$

Ещё полезно искать противоположные числа — они «уничтожают» друг друга: $-23 + 41 + 23 = 41$.

Деление на ноль

Как и раньше, на ноль делить нельзя — ни положительные, ни отрицательные числа. А вот $0 : (-5) = 0$: ноль, делённый на любое ненулевое число, равен нулю.

Проверка знака

Перед тем как считать модуль ответа, определите его знак — это быстро и предотвращает большинство ошибок. Например, в $(-2) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-1)$ три минуса — ответ будет отрицательным: $-30$.

История вопроса

Отрицательные числа впервые систематически использовали китайские математики около двух тысяч лет назад: положительные числа обозначали красными счётными палочками, отрицательные — чёрными. Индийский математик Брахмагупта (VII век) сформулировал правила знаков, толкуя положительные числа как «имущество», а отрицательные как «долг». В Европе отрицательные числа долго считали «ложными» и окончательно признали лишь в XVII–XVIII веках.

Типичные ошибки

• В сложении чисел с разными знаками ставить знак первого числа, а не числа с большим модулем: $(-8) + 5 = 3$.
• Забывать, что $-(-a) = a$: $5 - (-3) = 2$ — неверно, правильно 8.
• Путать правила: «минус на минус — плюс» относится к умножению и делению, а при сложении $(-5) + (-7) = -12$.
• Неверно считать знак произведения нескольких множителей.
• При раскрытии скобок с минусом менять знак только у первого слагаемого.

Что дальше

• Решение уравнений. Раскрытие скобок и подобные слагаемые — правила знаков понадобятся при раскрытии скобок и переносе слагаемых.
• Степень с натуральным показателем и её свойства — степени отрицательных чисел: $(-2)^3 = -8$, $(-2)^4 = 16$.
• Начальные геометрические сведения, Физические величины и их измерение — в геометрии и физике отрицательные числа встречаются в координатах и проекциях.