Отношения и пропорции

Зачем это нужно

Для варенья берут 2 кг сахара на 3 кг ягод. Сколько сахара нужно на 7,5 кг ягод? На карте 1 см соответствует 5 км — каково реальное расстояние? Модель машины в 43 раза меньше настоящей. Все эти вопросы о соотношении величин, и решаются они с помощью отношений и пропорций.

Пропорции — один из самых «рабочих» инструментов математики: ими пользуются повара, фармацевты, строители, картографы. А в геометрии на пропорциях построена тема подобных треугольников.

Отношение

Отношение двух чисел — это их частное. Отношение $a$ к $b$ записывают $a : b$ или $\dfrac{a}{b}$.

Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого:

• $12 : 4 = 3$ — 12 больше 4 в 3 раза;
• $4 : 12 = \dfrac{1}{3}$ — 4 составляет треть от 12.

Числа $a$ и $b$ называют членами отношения.

Основное свойство отношения: если оба члена умножить или разделить на одно и то же число (не нуль), отношение не изменится. Поэтому отношения можно упрощать, как дроби:

$15 : 25 = 3 : 5, \qquad 0{,}6 : 1{,}2 = 6 : 12 = 1 : 2, \qquad \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 3 : 2.$

Если величины в отношении однородные (обе — длины, обе — массы), их нужно выразить в одних единицах: отношение 50 см к 2 м — это $50 : 200 = 1 : 4$, а не $50 : 2$.

Пропорция

Пропорция — это равенство двух отношений:

$a : b = c : d \quad\text{или}\quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}.$

Читают: «$a$ так относится к $b$, как $c$ относится к $d$». Например, $2 : 3 = 6 : 9$.

• $a$ и $d$ — крайние члены пропорции;
• $b$ и $c$ — средние члены.

Основное свойство пропорции

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad\Longleftrightarrow\quad a \cdot d = b \cdot c.$

Проверим: $2 : 3 = 6 : 9$, и правда $2 \cdot 9 = 18 = 3 \cdot 6$.

Это свойство позволяет:

• проверять, верна ли пропорция: $4 : 5 = 12 : 16$? $4 \cdot 16 = 64$, $5 \cdot 12 = 60$ — не равны, пропорция неверна;
• находить неизвестный член пропорции.

Нахождение неизвестного члена

Из $a \cdot d = b \cdot c$ получаем: неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний; неизвестный средний — произведению крайних, делённому на известный средний.

Разобранный пример 1

Решите уравнение $\dfrac{x}{12} = \dfrac{5}{8}$.

1. По основному свойству: $8x = 12 \cdot 5 = 60$.
2. $x = 60 : 8 = 7{,}5$.
3. Проверка: $\dfrac{7{,}5}{12} = 0{,}625$ и $\dfrac{5}{8} = 0{,}625$. Верно.

Ответ: $x = 7{,}5$.

Разобранный пример 2

Для варенья берут 2 кг сахара на 3 кг ягод. Сколько сахара нужно на 7,5 кг ягод?

1. Отношение сахара к ягодам должно быть одинаковым: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{x}{7{,}5}$.
2. $3x = 2 \cdot 7{,}5 = 15$, $x = 5$.
3. Проверка по смыслу: ягод в 2,5 раза больше, чем 3 кг, — и сахара в 2,5 раза больше, чем 2 кг: $2 \cdot 2{,}5 = 5$. Сходится.

Ответ: 5 кг.

Деление в данном отношении

Часто нужно разделить число на части, пропорциональные данным числам.

Разобранный пример 3

Разделите 84 в отношении 3 : 4.

1. Всего частей $3 + 4 = 7$.
2. Одна часть: $84 : 7 = 12$.
3. Части: $3 \cdot 12 = 36$ и $4 \cdot 12 = 48$.
4. Проверка: $36 + 48 = 84$, $36 : 48 = 3 : 4$. Верно.

Ответ: 36 и 48.

Так решают задачи о сплавах, смесях, дележе прибыли: «бронза — это медь и олово в отношении 17 : 3».

Пропорции в жизни и искусстве

Пропорции окружают нас повсюду. В кулинарии рецепт — это набор отношений: если гостей вдвое больше, все продукты удваивают. В фармацевтике дозировку лекарства часто считают пропорционально массе тела. На карте отношение расстояний — это масштаб. Художники и архитекторы веками использовали «золотое сечение» — деление отрезка в отношении примерно $1 : 1{,}618$, которое считается особенно гармоничным. А в фотографии и кино соотношение сторон кадра (например, $16 : 9$) — тоже отношение.

Умение быстро видеть пропорцию экономит время: если 3 кг яблок стоят 360 рублей, то 1 кг — 120, а 5 кг — 600, и никакой сложной записи не нужно. Пропорция — это просто аккуратная запись такого рассуждения.

Типичные ошибки

• Составлять отношение величин в разных единицах: 50 см : 2 м = 25. Сначала переводим в одни единицы.
• Перемножать «не те» члены: крайние со средними, но не крест-накрест.
• В задачах путать порядок: $\dfrac{\text{сахар}}{\text{ягоды}} = \dfrac{\text{ягоды}}{\text{сахар}}$ — в обеих частях пропорции должен быть одинаковый порядок величин.
• При делении в отношении $3 : 4$ делить число на 3 и на 4, а не на сумму частей 7.
• Забывать проверять ответ подстановкой в пропорцию.

Что дальше

• Прямая и обратная пропорциональность. Масштаб — величины, которые связаны пропорцией при любых значениях, называют пропорциональными; узнаем о прямой и обратной пропорциональности и масштабе.
• Подобные треугольники — в подобных треугольниках стороны пропорциональны.