Подобные треугольники

Зачем это нужно

Карта, чертёж, фотография, модель самолёта — это уменьшенные копии реальных объектов: все размеры изменены в одно и то же число раз, а форма сохранена. В геометрии такие фигуры называют подобными. Подобие позволяет измерять недоступные расстояния: высоту дерева по его тени, ширину реки, не переплывая её, расстояние до корабля. На подобии основаны оптика (линзы, фотоаппарат), картография и тригонометрия. Задачи на подобие есть в каждом варианте ОГЭ.

Определение подобия

Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ называются подобными, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны:

$\angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1,\ \angle C = \angle C_1, \qquad \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k.$

Число $k$ — коэффициент подобия. Сходственные стороны лежат против равных углов. Запись: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Свойства подобных треугольников:

• отношение периметров равно $k$;
• отношение площадей равно $k^2$;
• отношение сходственных высот, медиан, биссектрис равно $k$.

Пример на рисунке: при $k = 2$ периметры $12$ и $24$ (в 2 раза), площади $6$ и $24$ (в 4 раза).

Признаки подобия треугольников

1. По двум углам: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны.
2. По двум сторонам и углу между ними: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны.
3. По трём сторонам: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Чаще всего применяют первый признак: найти два равных угла обычно проще всего (вертикальные углы, общий угол, накрест лежащие при параллельных).

Разобранный пример 1

В треугольнике $ABC$ прямая $MN \parallel AC$ пересекает $AB$ в точке $M$ и $BC$ в точке $N$; $BM = 4$, $MA = 6$, $AC = 15$. Найдите $MN$.

1. $\angle B$ общий, $\angle BMN = \angle BAC$ (соответственные при $MN \parallel AC$). По двум углам $\triangle MBN \sim \triangle ABC$.
2. $k = \frac{BM}{BA} = \frac{4}{10} = 0{,}4$.
3. $MN = 0{,}4 \cdot 15 = 6$.

Разобранный пример 2

Площади подобных треугольников 18 и 50. Сторона первого 6. Найдите сходственную сторону второго.

1. $k^2 = \frac{50}{18} = \frac{25}{9}$, $k = \frac{5}{3}$.
2. Сторона: $6 \cdot \frac{5}{3} = 10$.

Средняя линия треугольника

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна её половине. Доказательство — подобие с $k = \frac{1}{2}$.

Следствие: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2 : 1$, считая от вершины.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота $CH$, проведённая к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному. Отсюда:

$CH^2 = AH \cdot HB, \qquad AC^2 = AB \cdot AH, \qquad BC^2 = AB \cdot BH.$

Высота к гипотенузе — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы.

Разобранный пример 3

Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 4 и 9. Найдите высоту.

$h = \sqrt{4 \cdot 9} = 6$.

Измерение высоты по тени

Шест высотой 2 м отбрасывает тень 3 м, а дерево в то же время — тень 18 м. Солнечные лучи параллельны, поэтому треугольники «шест — тень» и «дерево — тень» подобны: высота дерева $\frac{18}{3} \cdot 2 = 12$ м. По преданию, так Фалес Милетский измерил высоту египетской пирамиды.

Измерение ширины реки

Встаньте на берегу напротив приметного дерева $D$ на другом берегу (точка $A$). Пройдите вдоль берега 30 м до точки $B$ и отметьте её вешкой, затем ещё 10 м до точки $C$. Из $C$ отойдите от реки перпендикулярно берегу, пока вешка $B$ и дерево $D$ не окажутся на одной прямой, — пусть это точка $E$, $CE = 8$ м. Прямоугольные треугольники $ABD$ и $CBE$ подобны (вертикальные углы при $B$), поэтому

$AD = CE \cdot \frac{AB}{BC} = 8 \cdot \frac{30}{10} = 24 \text{ м}.$

Реку переплывать не пришлось.

Как решать задачи на подобие

1. Найдите на чертеже пару треугольников, которые могут быть подобны: часто это треугольники с общим углом, вертикальными углами или с параллельными сторонами.
2. Докажите подобие: назовите признак и перечислите равные углы или пропорциональные стороны.
3. Запишите соответствие вершин в правильном порядке — от этого зависит, какие стороны сходственные.
4. Составьте пропорцию из сходственных сторон и найдите неизвестное.
5. Если в задаче речь о площадях — не забудьте, что они относятся как $k^2$.

Типичные ошибки

• Составлять пропорцию из несходственных сторон. Сходственные стороны лежат против равных углов.
• Считать, что площади относятся как $k$, а не как $k^2$.
• Путать порядок вершин в записи подобия: $\triangle ABC \sim \triangle MNK$ означает $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow K$.
• Брать в примере 1 отношение $\frac{BM}{MA}$ вместо $\frac{BM}{BA}$.
• Забывать, что средняя линия равна половине третьей стороны, а не той, середину которой она соединяет.

Что дальше

• Синус, косинус, тангенс острого угла — синус, косинус и тангенс: отношения сторон подобных прямоугольных треугольников.
• Гомотетия и преобразования подобия — гомотетия и преобразования подобия.
• Преломление света. Линзы — построение изображений в линзах.