Импульс. Работа и мощность

Зачем это нужно

Законы Ньютона позволяют рассчитать движение, если известны все силы. Но при ударе, взрыве или выстреле силы огромны, действуют доли секунды и почти не поддаются измерению. Здесь выручают законы сохранения, и первый из них — закон сохранения импульса. Вторая важнейшая величина темы — работа: она показывает, как сила меняет энергию тела, а мощность — как быстро это происходит. Эти понятия нужны для расчёта двигателей, ракет, подъёмных кранов и даже человеческого организма.

Импульс и закон его сохранения

Импульс $\vec{p} = m\vec{v}$. Второй закон Ньютона в импульсной форме: $\vec{F}\Delta t = \Delta\vec{p}$ — изменение импульса равно импульсу силы.

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел постоянна. В 10 классе важно, что это векторный закон: он выполняется для каждой проекции отдельно, даже если тела движутся под углом.

Разобранный пример 1 (удар под углом)

Шар 2 кг движется на восток со скоростью 3 м/с, шар 1 кг — на север со скоростью 6 м/с. Они слипаются. Найдите скорость после удара.

1. Проекции суммарного импульса: $p_x = 6$, $p_y = 6$ кг·м/с.
2. $|\vec{p}| = \sqrt{72} \approx 8{,}49$ кг·м/с, $v = \frac{8{,}49}{3} \approx 2{,}83$ м/с, направление — на северо-восток под $45^\circ$.

Разобранный пример 2 (разрыв снаряда)

Снаряд 10 кг летел со скоростью 100 м/с и разорвался на осколки 4 кг и 6 кг. Меньший полетел назад со скоростью 50 м/с. Найдите скорость большего. $1000 = -4 \cdot 50 + 6v$, $v = 200$ м/с.

Реактивное движение — прямое следствие: ракета отбрасывает газы назад и получает импульс вперёд. Скорость, которую может набрать ракета, растёт с отношением начальной массы к конечной (формула Циолковского), поэтому ракеты делают многоступенчатыми.

Центр масс

Закону сохранения импульса можно придать наглядный смысл. Центр масс системы движется так, как двигалась бы материальная точка с массой всей системы под действием суммы внешних сил. В замкнутой системе центр масс движется равномерно или покоится, что бы ни происходило внутри.

Разобранный пример 3 (человек в лодке)

Человек массой 60 кг переходит с кормы на нос неподвижной лодки массой 140 кг длиной 5 м. На сколько сдвинется лодка (сопротивлением воды пренебречь)?

Центр масс системы не сдвигается. Если лодка сместится назад на $x$, человек относительно берега пройдёт вперёд $5 - x$. Условие: $60(5 - x) = 140x$, откуда $x = 1{,}5$ м. Именно поэтому трудно спрыгнуть на берег с лёгкой лодки: она уходит из-под ног назад.

Механическая работа

Работа постоянной силы при перемещении $\vec{s}$:

$A = Fs\cos\alpha,$

где $\alpha$ — угол между силой и перемещением. При $\alpha < 90^\circ$ работа положительна, при $\alpha > 90^\circ$ отрицательна (работа трения), при $\alpha = 90^\circ$ равна нулю (сила тяжести при горизонтальном движении, центростремительная сила).

Работа переменной силы равна площади под графиком $F(x)$. Для силы упругости это треугольник: работа при растяжении от 0 до $x$ равна $\frac{kx^2}{2}$.

Разобранный пример 4

Сила 100 Н под углом $60^\circ$ к горизонту переместила ящик на 10 м. Найдите работу. $A = 100 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 500$ Дж.

Разобранный пример 5

Пружину жёсткостью 400 Н/м растянули сначала на 10 см, затем ещё на 10 см. Найдите работу на каждом этапе. $A_1 = \frac{400 \cdot 0{,}01}{2} = 2$ Дж, $A_2 = \frac{400 \cdot 0{,}04}{2} - 2 = 6$ Дж. Второй этап требует втрое больше работы.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории: $A = mg(h_1 - h_2)$. Такие силы называют консервативными (потенциальными). Работа силы трения зависит от пути и всегда отрицательна.

Мощность и КПД

Мощность — работа за единицу времени: $N = \frac{A}{t}$, при равномерном движении $N = Fv$ (Вт). КПД — отношение полезной работы к затраченной: $\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}} \cdot 100\,\%$.

Разобранный пример 6

Автомобиль едет равномерно со скоростью 20 м/с, сила сопротивления 600 Н. Найдите мощность двигателя. $N = 600 \cdot 20 = 12$ кВт.

Разобранный пример 7

Кран поднимает 500 кг на 20 м за 40 с. Мощность мотора 3125 Вт. Найдите КПД. Полезная мощность $\frac{500 \cdot 10 \cdot 20}{40} = 2500$ Вт, $\eta = \frac{2500}{3125} = 80\,\%$.

Типичные ошибки

• Складывать импульсы как числа при движении под углом.
• Забывать $\cos\alpha$ в формуле работы.
• Считать работу силы тяжести зависящей от траектории.
• Путать мощность (быстрота) и работу (результат).
• Получать КПД больше 100 %.

Что дальше

• Энергия. Закон сохранения энергии — энергия и закон её сохранения.