Импульс. Закон сохранения импульса

Зачем это нужно

Почему ружьё «отдаёт» в плечо при выстреле? Как ракета разгоняется в космосе, где не от чего оттолкнуться? Почему мяч ловят, «уводя» руки назад? На все эти вопросы отвечает понятие импульса и один из главных законов природы — закон сохранения импульса. Он позволяет решать задачи о столкновениях и взрывах, даже не зная сил, которые действуют во время удара.

Импульс тела

Импульс тела (количество движения) — произведение массы тела на его скорость:

$\vec{p} = m\vec{v}, \qquad [p] = \text{кг} \cdot \text{м/с}.$

Импульс — вектор, направленный так же, как скорость. Грузовик и пуля могут иметь одинаковый импульс: у грузовика большая масса, у пули — огромная скорость.

Импульс силы

Запишем второй закон Ньютона через изменение скорости: $F = ma = m\frac{\Delta v}{\Delta t}$. Отсюда

$\vec{F} \Delta t = \Delta \vec{p}.$

Произведение $F\Delta t$ называют импульсом силы. Одно и то же изменение импульса можно получить большой силой за короткое время или малой силой за долгое время. Поэтому ловят мяч, отводя руки назад, у машин есть подушки безопасности и сминаемые зоны, а прыгают на мягкие маты: время удара растёт, сила уменьшается.

Разобранный пример 1

Мяч массой 0,5 кг после удара ногой приобрёл скорость 20 м/с. Удар длился 0,05 с. Найдите среднюю силу удара.

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{0{,}5 \cdot 20}{0{,}05} = 200$ Н.

Закон сохранения импульса

Замкнутая система — система тел, на которые не действуют внешние силы (или их действие скомпенсировано). Тела внутри системы взаимодействуют друг с другом, но по третьему закону Ньютона их силы равны и противоположны, поэтому изменения импульсов взаимно уничтожаются.

Векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остаётся постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1\,' + m_2\vec{v}_2\,'.$

Разобранный пример 2 (неупругий удар)

Тележка массой 2 кг, движущаяся со скоростью 6 м/с, сцепляется с покоящейся тележкой массой 1 кг. Найдите их общую скорость.

1. До удара: $p = 2 \cdot 6 + 1 \cdot 0 = 12$ кг·м/с.
2. После: $(2 + 1) v = 12$, $v = 4$ м/с.

Разобранный пример 3 (отдача)

Из ружья массой 4 кг вылетает пуля массой 10 г со скоростью 600 м/с. Найдите скорость отдачи ружья.

1. До выстрела импульс системы равен нулю.
2. После: $0 = 0{,}01 \cdot 600 - 4 \cdot V$, откуда $V = \frac{6}{4} = 1{,}5$ м/с.

Ружьё движется в противоположную сторону — это и есть отдача.

Разобранный пример 4 (встречное движение)

Шары массами 3 кг и 1 кг движутся навстречу со скоростями 2 м/с и 4 м/с и после удара слипаются. Найдите скорость и направление их движения.

1. Направим ось по движению первого шара. Проекции: $v_1 = 2$, $v_2 = -4$.
2. $3 \cdot 2 + 1 \cdot (-4) = 4 v$, $v = 0{,}5$ м/с.
3. Знак плюс: слипшиеся шары движутся в ту же сторону, куда двигался тяжёлый шар.

Реактивное движение

Реактивное движение возникает, когда от тела отделяется и движется с некоторой скоростью какая-то его часть. Ракета выбрасывает раскалённые газы назад с огромной скоростью, а сама получает импульс вперёд, равный по модулю импульсу газов. Ракете не нужна опора или воздух, поэтому реактивные двигатели работают в космосе. Реактивно движутся кальмары и медузы, выталкивая воду, и вращается садовая вертушка-поливалка.

Константин Эдуардович Циолковский вывел формулу скорости ракеты и показал, что для полёта в космос нужны многоступенчатые ракеты: пустые ступени отбрасываются, и оставшейся части легче разгоняться. Сергей Павлович Королёв руководил созданием ракеты, которая вывела на орбиту первый спутник и корабль Гагарина.

Как решать задачи на сохранение импульса

1. Убедитесь, что система замкнута (или внешние силы малы по сравнению с силами удара).
2. Выберите ось, нарисуйте скорости до и после.
3. Запишите закон в проекциях, учитывая знаки: скорость против оси — с минусом.
4. Решите уравнение и проверьте знак ответа: минус означает движение против оси.

Типичные ошибки

• Складывать импульсы как числа, забывая направления.
• Применять закон к незамкнутой системе, например при сильном трении за длительное время.
• Путать импульс тела $mv$ и импульс силы $F\Delta t$.
• Забывать переводить граммы в килограммы.
• Думать, что ракета отталкивается от воздуха.

Что дальше

• Закон сохранения механической энергии — закон сохранения энергии и упругие удары.
• Импульс. Работа и мощность — импульс, работа и мощность в 10 классе.