Энергия. Закон сохранения энергии

Зачем это нужно

Закон сохранения энергии — самый универсальный закон природы: ни одно явление, от падения яблока до взрыва звезды, его не нарушает. В механике он позволяет одной строкой находить скорости и высоты там, где законы Ньютона потребовали бы громоздких вычислений: в движении по горкам и петлям, при ударах, в пружинных механизмах. В сочетании с законом сохранения импульса он решает почти все задачи о столкновениях.

Кинетическая энергия

Теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей всех сил равна изменению кинетической энергии:

$A = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}.$

Она верна всегда — с трением, без трения, при любых силах. Именно поэтому её удобно применять, когда силы известны, а нужно найти скорость.

Потенциальная энергия

Для консервативных сил (тяжести, упругости, тяготения) работа не зависит от траектории, и можно ввести потенциальную энергию $E_п$ так, что $A = -\Delta E_п$:

• в поле тяжести $E_п = mgh$ (от выбранного нулевого уровня);
• деформированной пружины $E_п = \frac{kx^2}{2}$.

Закон сохранения механической энергии

Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется:

$E_к + E_п = \text{const}.$

При действии трения механическая энергия убывает: $E_2 = E_1 + A_{\text{тр}}$, где $A_{\text{тр}} < 0$. Убыль переходит во внутреннюю энергию — тела нагреваются. Полная энергия (механическая плюс внутренняя и другие виды) сохраняется всегда.

Разобранный пример 1

Пружинное ружьё: $k = 500$ Н/м, сжатие 10 см, шарик 50 г выстреливают вертикально вверх. На какую высоту он поднимется ($g = 10$ м/с²)?

$\frac{kx^2}{2} = mgh$: $\frac{500 \cdot 0{,}01}{2} = 2{,}5$ Дж, $h = \frac{2{,}5}{0{,}05 \cdot 10} = 5$ м.

Мёртвая петля

С какой наименьшей высоты нужно скатить шарик без трения, чтобы он прошёл петлю радиуса $R$?

1. В верхней точке шарик не должен оторваться: в крайнем случае давление на жёлоб равно нулю и центростремительное ускорение создаёт только сила тяжести: $mg = \frac{mv^2}{R}$, то есть $v^2 = gR$.
2. Закон сохранения энергии: $mgh = mg \cdot 2R + \frac{mv^2}{2} = 2mgR + \frac{mgR}{2}$.
3. $h_{\min} = 2{,}5R$.

Для петли радиусом 2 м нужна горка не ниже 5 м — и это без учёта трения.

Удары

• Абсолютно неупругий удар (тела слипаются): сохраняется импульс, механическая энергия частично переходит во внутреннюю.
• Абсолютно упругий удар: сохраняются и импульс, и механическая энергия. При лобовом упругом ударе двух одинаковых шаров они обмениваются скоростями — так работает «колыбель Ньютона».

Разобранный пример 2 (баллистический маятник)

Пуля 10 г со скоростью 500 м/с застревает в бруске 2 кг, подвешенном на нити. На какую высоту поднимется брусок?

1. Удар неупругий — сохраняется импульс: $0{,}01 \cdot 500 = 2{,}01 \cdot v$, $v \approx 2{,}49$ м/с.
2. После удара — сохранение энергии: $h = \frac{v^2}{2g} \approx 0{,}31$ м.
3. Использовать энергию для удара нельзя: при застревании более 99 % кинетической энергии пули уходит в тепло.

Так когда-то измеряли скорости пуль.

Разобранный пример 3 (трение)

Санки скатываются с горки высотой 10 м и внизу имеют скорость 12 м/с. Какая доля механической энергии потеряна? На килограмм массы: $E_1 = 100$ Дж, $E_2 = 72$ Дж, потеря 28 %.

Разобранный пример 4 (упругий удар)

Шар 1 кг со скоростью 6 м/с налетает на покоящийся шар 2 кг; удар упругий и лобовой. Найдите скорости после удара.

Из законов сохранения импульса и энергии получаются формулы $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v$, $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v$. Здесь $v_1' = -2$ м/с (лёгкий шар отскочил назад), $v_2' = 4$ м/с. Проверка энергии: $18 = 2 + 16$ Дж.

Как выбрать закон

1. Есть удар, взрыв, выстрел — используйте сохранение импульса (силы внутри системы огромны, внешние за время удара несущественны).
2. Тело движется под действием тяжести и упругости без трения — используйте сохранение механической энергии.
3. Есть трение или неупругий удар — учтите работу трения или потерю энергии.
4. Часто задача состоит из этапов: удар (импульс), затем движение (энергия). Каждый этап решайте своим законом.

Типичные ошибки

• Применять закон сохранения механической энергии при неупругом ударе.
• Забывать про энергию пружины или выбирать разные нулевые уровни высоты.
• В задаче о петле считать, что в верхней точке скорость может быть нулевой.
• Путать теорему о кинетической энергии (работа всех сил) и закон сохранения (только консервативные силы).
• Терять знак работы трения.

Что дальше

• Статика — статика: равновесие тел.
• Энергия колебаний и резонанс — энергия колебаний и резонанс.