Законы Ньютона в векторной форме

Зачем это нужно

В 9 классе мы применяли законы Ньютона к движению вдоль одной прямой. Но санки скатываются с горки, груз поднимают краном по наклонному тросу, два тела связаны нитью через блок. Силы направлены по-разному, и складывать их нужно как векторы. Здесь законы Ньютона превращаются в универсальный алгоритм, которым решается почти любая задача динамики: от расчёта тормозного пути до подъёма лифта и полёта ракеты.

Три закона в векторной форме

1. Первый закон. Существуют инерциальные системы отсчёта, в которых тело сохраняет скорость, если равнодействующая сил равна нулю: $\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{v} = \text{const}$.
2. Второй закон: $m\vec{a} = \sum \vec{F}$ — ускорение направлено так же, как равнодействующая.
3. Третий закон: $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ — силы взаимодействия равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам.

Принцип относительности Галилея: во всех инерциальных системах отсчёта механические явления протекают одинаково, и законы Ньютона имеют одинаковый вид.

Алгоритм решения задач

1. Сделайте рисунок и изобразите все силы, действующие на каждое тело.
2. Выберите оси: обычно одну — вдоль ускорения, другую — перпендикулярно.
3. Запишите второй закон в проекциях на каждую ось: $ma_x = \sum F_x$, $ma_y = \sum F_y$.
4. Добавьте связи: $F_{\text{тр}} = \mu N$, нерастяжимость нити (одинаковые ускорения), невесомость блока (одинаковое натяжение).
5. Решите систему уравнений.

Наклонная плоскость

Направим ось $x$ вдоль плоскости вниз, ось $y$ — перпендикулярно. Проекции силы тяжести: $mg\sin\alpha$ вдоль, $mg\cos\alpha$ поперёк.

• По $y$: $N = mg\cos\alpha$.
• По $x$: $ma = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha$, то есть $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$.

Разобранный пример 1

Брусок соскальзывает с наклонной плоскости $30^\circ$. Найдите ускорение без трения и при $\mu = 0{,}2$ ($g = 10$ м/с²).

Без трения $a = 10 \cdot 0{,}5 = 5$ м/с². С трением $a = 10(0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866) \approx 3{,}27$ м/с².

Если $\operatorname{tg}\alpha < \mu$, брусок вообще не сдвинется: сила трения покоя удержит его.

Связанные тела

Разобранный пример 2 (машина Атвуда)

Через неподвижный блок перекинута нить с грузами 3 кг и 2 кг. Найдите ускорение и натяжение нити.

1. Нить нерастяжима: ускорения грузов равны по модулю, тяжёлый идёт вниз.
2. $3a = 30 - T$, $2a = T - 20$. Складываем: $5a = 10$, $a = 2$ м/с².
3. $T = 20 + 2 \cdot 2 = 24$ Н.

Разобранный пример 3

Два бруска 3 кг и 2 кг на гладком столе связаны нитью. К бруску 3 кг приложена горизонтальная сила 20 Н. Найдите ускорение и натяжение нити.

$a = \frac{20}{5} = 4$ м/с². Нить тянет только брусок 2 кг: $T = 2 \cdot 4 = 8$ Н.

Разобранный пример 4 (сила под углом)

Ящик 10 кг на гладком полу тянут силой 50 Н под углом $60^\circ$ к горизонту. Найдите ускорение. Горизонтальная проекция $50\cos 60^\circ = 25$ Н, $a = 2{,}5$ м/с².

Движение по окружности

Второй закон работает и при движении по окружности: равнодействующая сил создаёт центростремительное ускорение $\frac{v^2}{R}$.

Разобранный пример 5 (поворот)

С какой наибольшей скоростью автомобиль может пройти поворот радиусом 50 м, если коэффициент трения шин об асфальт 0,5?

Центростремительное ускорение создаёт сила трения покоя: $\frac{mv^2}{R} \le \mu mg$, откуда $v \le \sqrt{\mu g R} = \sqrt{250} \approx 15{,}8$ м/с, то есть около 57 км/ч. На мокрой дороге коэффициент трения меньше, и безопасная скорость падает. Поэтому на поворотах устраивают наклон дороги — вираж: тогда центростремительное ускорение частично создаёт реакция опоры.

Разобранный пример 6 (отвес в разгоняющемся вагоне)

Вагон разгоняется с ускорением 2 м/с². На какой угол от вертикали отклонится отвес? На груз действуют сила тяжести и натяжение нити; их равнодействующая $ma$ направлена горизонтально. $\operatorname{tg}\varphi = \frac{a}{g} = 0{,}2$, $\varphi \approx 11{,}3^\circ$. Так устроен простейший акселерометр.

Неинерциальные системы

В ускоренно движущейся системе (тормозящий автобус, вращающаяся карусель) законы Ньютона в обычном виде не выполняются: тела «сами» начинают двигаться. Задачи решают в инерциальной системе, связанной с Землёй.

Типичные ошибки

• Забывать какую-нибудь силу (чаще всего трение или реакцию опоры).
• Считать, что $N = mg$ всегда; на наклонной плоскости $N = mg\cos\alpha$.
• Брать неправильные проекции: путать $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$.
• В системе тел приписывать силу, приложенную к одному телу, другому.
• Решать задачи в неинерциальной системе, не учитывая этого.

Что дальше

• Силы в природе — силы упругости, трения и тяготения подробно.
• Свободное падение. Всемирное тяготение. Движение по окружности — движение по окружности под действием тяготения.