Энергия колебаний и резонанс

Зачем это нужно

Качели, струна гитары, мост под шагающей колонной, кузов автомобиля на рессорах, кварц в часах — всё это колебательные системы. Колебания — это непрерывный обмен энергией между двумя её видами. Поняв этот обмен, мы сможем находить максимальную скорость маятника без решения уравнений движения, объясним, почему колебания затухают, и разберёмся в резонансе — явлении, которое помогает раскачивать качели и настраивать радиоприёмник, но может разрушить мост или двигатель.

Превращения энергии при колебаниях

Возьмём пружинный маятник: груз массой $m$ на пружине жёсткостью $k$ без трения. Отведём груз на расстояние $A$ (амплитуду) и отпустим.

• В крайней точке груз на мгновение останавливается: вся энергия — потенциальная энергия пружины $\frac{kA^2}{2}$.
• Проходя положение равновесия, пружина не деформирована: вся энергия — кинетическая $\frac{m v_{max}^2}{2}$.
• В любой промежуточной точке энергия делится между двумя видами, но сумма постоянна:

$\frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = \frac{kA^2}{2} = \frac{m v_{max}^2}{2}.$

Полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды: увеличьте размах вдвое — энергия вырастет вчетверо. За один период энергия дважды полностью переходит из одного вида в другой, поэтому кинетическая и потенциальная энергии колеблются с удвоенной частотой.

Для математического маятника (грузик на нити длиной $l$) роль потенциальной энергии играет энергия в поле тяжести: $mgh_{max} = \frac{mv_{max}^2}{2}$.

Разобранный пример 1

Груз 0,5 кг на пружине жёсткостью 100 Н/м колеблется с амплитудой 10 см. Найдите полную энергию и максимальную скорость.

1. $E = \frac{100 \cdot 0{,}01}{2} = 0{,}5$ Дж.
2. $v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ м/с.

Разобранный пример 2

Маятник отклонили так, что грузик поднялся на 5 см. С какой скоростью он пройдёт нижнюю точку?

$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}05} = 1$ м/с — масса и длина нити не важны.

Разобранный пример 3

Какая доля энергии пружинного маятника приходится на кинетическую, когда смещение равно половине амплитуды?

$E_п = \frac{k(A/2)^2}{2} = \frac{1}{4} E$, значит $E_к = \frac{3}{4} E$, то есть 75 %.

Затухающие колебания

В реальных системах есть трение и сопротивление среды. Они превращают механическую энергию во внутреннюю, поэтому амплитуда постепенно уменьшается — колебания затухают. Чем больше трение, тем быстрее затухание; при очень сильном трении (маятник в густом масле) колебаний нет вовсе: тело медленно возвращается к равновесию. Так устроены амортизаторы автомобиля — они гасят раскачку кузова после неровности.

Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потеря 10 % амплитуды за период означает потерю $1 - 0{,}9^2 = 19$ % энергии.

Вынужденные колебания

Чтобы колебания не затухали, систему нужно подталкивать периодической внешней силой. Колебания под действием такой силы называют вынужденными. Их особенности:

• после короткого переходного процесса система колеблется с частотой внешней силы, а не со своей;
• амплитуда зависит от того, насколько частота силы $\omega$ близка к собственной частоте системы $\omega_0$.

Собственная частота определяется самой системой: для пружинного маятника $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, для математического $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

Резонанс

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы: $\omega = \omega_0$.

Причина проста: при совпадении частот сила всё время «подталкивает в такт» и совершает положительную работу, энергия копится от толчка к толчку. Рост ограничивает только трение: чем оно меньше, тем выше и острее резонансный пик.

Разобранный пример 4

Качели — маятник длиной 2,5 м. Через какие промежутки времени их нужно подталкивать, чтобы раскачать сильнее всего?

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}5}{10}} = 2\pi \cdot 0{,}5 \approx 3{,}14$ с — толкать нужно каждые 3,14 с, в одной и той же фазе.

Разобранный пример 5

Стыки рельсов расположены через 25 м. Вагон на рессорах имеет собственный период колебаний 1,25 с. При какой скорости поезда раскачка будет наибольшей?

Удары о стыки должны следовать с периодом 1,25 с: $v = \frac{25}{1{,}25} = 20$ м/с $= 72$ км/ч.

Резонанс полезный и опасный

Полезный: раскачивание качелей; настройка радиоприёмника на частоту станции; звучание музыкальных инструментов (корпус гитары резонирует со струной); магнитно-резонансная томография; язычковый частотомер.

Опасный: в 1850 году во французском городе Анже рухнул подвесной мост, по которому шагал батальон солдат, — с тех пор по мостам ходят «не в ногу». В 1940 году мост через пролив Такома в США раскачало ветром до разрушения (там сыграли роль и аэродинамические эффекты). Вибрация станков, двигателей и вагонов на резонансе разрушает крепления. Инженеры избегают резонанса: меняют собственную частоту конструкций и ставят демпферы — гасители колебаний, как огромный маятник в небоскрёбе «Тайбэй 101».

Типичные ошибки

• Считать, что энергия колебаний пропорциональна амплитуде, а не её квадрату.
• Путать собственную частоту системы и частоту внешней силы.
• Думать, что при резонансе амплитуда растёт бесконечно: её ограничивает трение.
• Считать, что вынужденные колебания идут с собственной частотой системы.

Что дальше

• Механические колебания. Гармонический закон — гармонический закон и уравнение колебаний.
• Основы молекулярно-кинетической теории — основы молекулярно-кинетической теории.