Движение по окружности. Кинематика твёрдого тела

Зачем это нужно

Колёса автомобиля, лопасти вентилятора, барабан стиральной машины, жёсткий диск компьютера, Земля вокруг своей оси — повсюду вращение. В 9 классе мы описали движение точки по окружности через период и центростремительное ускорение. Теперь введём угловые величины, которые одинаковы для всех точек вращающегося тела, и разберёмся, как движется само тело: например, почему у катящегося колеса верхняя точка движется вдвое быстрее автомобиля, а нижняя стоит на месте.

Угловые величины

При движении по окружности радиуса $R$ положение точки задаёт угол поворота $\varphi$ (в радианах). Длина дуги $l = R\varphi$.

Угловая скорость — угол поворота за единицу времени:

$\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}, \qquad [\omega] = \text{рад/с}, \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu.$

Связь с линейными величинами:

$v = \omega R, \qquad a_{\text{цс}} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R = \omega v.$

Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и показывает, как быстро меняется направление скорости. Оно существует даже при постоянном модуле скорости, то есть при равномерном вращении.

Разобранный пример 1

Найдите угловую скорость секундной стрелки. $\omega = \frac{2\pi}{60} \approx 0{,}105$ рад/с.

Разобранный пример 2

Колесо радиусом 0,3 м вращается с частотой 10 Гц. Найдите скорость точек обода и их ускорение.

$\omega = 2\pi \cdot 10 \approx 62{,}8$ рад/с, $v = \omega R \approx 18{,}8$ м/с, $a = \omega^2 R \approx 1184$ м/с² — более чем в 100 раз больше $g$. Поэтому в центрифуге стиральной машины вода так сильно «прижимается» к стенкам и уходит через отверстия.

Твёрдое тело: поступательное и вращательное движение

Абсолютно твёрдое тело — тело, расстояния между точками которого не меняются.

• Поступательное движение: любой отрезок, соединяющий две точки тела, остаётся параллельным себе. Все точки движутся одинаково (кабинка колеса обозрения, ящик стола). Такое тело можно заменить одной точкой, поэтому вся кинематика точки применима к нему без изменений.
• Вращательное движение вокруг неподвижной оси: все точки движутся по окружностям с центрами на оси. Угловая скорость у всех точек одинакова, а линейная растёт пропорционально расстоянию до оси.

Качение без проскальзывания

Движение колеса — сумма поступательного движения со скоростью центра $v$ и вращения вокруг центра с $\omega = \frac{v}{R}$. Скорости складываются как векторы:

• нижняя точка: $v - \omega R = 0$ — она в данный момент покоится;
• центр: $v$;
• верхняя точка: $v + \omega R = 2v$.

Разобранный пример 3

Автомобиль едет со скоростью 72 км/ч, радиус колеса 0,3 м. Найдите угловую скорость колеса и скорость верхней точки шины. $v = 20$ м/с, $\omega = \frac{20}{0{,}3} \approx 66{,}7$ рад/с, верхняя точка — 40 м/с.

Передачи

Если два шкива соединены ремнём или зубчатые колёса находятся в зацеплении, линейные скорости точек их ободов равны: $\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2$. Маленький шкив вращается быстрее. На этом основаны велосипедные передачи: маленькая звёздочка на заднем колесе и большая на педалях позволяют колесу делать несколько оборотов за один оборот педалей. Переключая звёздочки, велосипедист выбирает между скоростью и усилием.

Разобранный пример 4

Шкив радиусом 5 см вращается с частотой 20 Гц и ремнём вращает шкив радиусом 20 см. Найдите частоту второго. $\nu_2 = \frac{20 \cdot 5}{20} = 5$ Гц.

Разобранный пример 5

Найдите скорость точки на экваторе Земли из-за её вращения. $v = \frac{2\pi \cdot 6{,}4 \cdot 10^6}{86\,400} \approx 465$ м/с — быстрее скорости звука.

Неравномерное вращение

Если угловая скорость меняется, вводят угловое ускорение $\varepsilon = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ (рад/с²). Тогда у точки обода два ускорения: центростремительное $\omega^2 R$ (меняет направление скорости) и касательное $\varepsilon R$ (меняет её модуль). Полное ускорение — их векторная сумма: $a = \sqrt{a_{\text{цс}}^2 + a_\tau^2}$. Формулы равнопеременного вращения повторяют формулы равноускоренного движения: $\omega = \omega_0 + \varepsilon t$, $\varphi = \omega_0 t + \frac{\varepsilon t^2}{2}$.

Вращение в технике и истории

Жёсткий диск компьютера вращается с частотой 7200 оборотов в минуту: $\omega = \frac{7200}{60} \cdot 2\pi \approx 754$ рад/с, и край пластины радиусом 4,5 см движется со скоростью около 34 м/с. Формулу центростремительного ускорения $a = \frac{v^2}{R}$ впервые опубликовал Христиан Гюйгенс в 1673 году, изучая маятниковые часы, а Ньютон применил её к движению Луны.

Типичные ошибки

• Подставлять угол в градусах в формулы $l = R\varphi$ и $v = \omega R$.
• Думать, что у точек вращающегося тела одинаковые линейные скорости.
• Путать частоту $\nu$ и угловую скорость $\omega = 2\pi\nu$.
• Считать, что нижняя точка колеса движется со скоростью автомобиля.
• При ремённой передаче приравнивать угловые, а не линейные скорости.

Что дальше

• Законы Ньютона в векторной форме — силы, создающие центростремительное ускорение.
• Равноускоренное движение. Свободное падение. Баллистика — равноускоренное движение и баллистика.