Архимедова сила. Плавание тел

Зачем это нужно

Почему стальной корабль водоизмещением в сотни тысяч тонн плывёт, а стальная гайка тонет? Почему в море легче держаться на воде, чем в реке? Почему в воде легко поднять товарища, которого на суше не оторвать от земли? Как воздушный шар поднимается в небо, а подводная лодка — то всплывает, то погружается? На все эти вопросы отвечает один закон, открытый Архимедом больше двух тысяч лет назад.

Откуда берётся выталкивающая сила

В предыдущей теме мы выяснили: давление в жидкости растёт с глубиной, $p = \rho g h$ . Возьмём брусок, целиком погружённый в воду.

Давление на нижнюю грань бруска больше, чем на верхнюю

Боковые силы давления попарно равны и уравновешивают друг друга. А нижняя грань находится глубже верхней, давление на неё больше, значит, и сила больше. Разность этих сил — выталкивающая (архимедова) сила $F_A$ , направленная вертикально вверх.

Пусть верхняя грань площадью $S$ на глубине $h_1$ , нижняя — на глубине $h_2$ , высота бруска $h = h_2 - h_1$ :

$F_A = \rho_{\text{ж}} g h_2 S - \rho_{\text{ж}} g h_1 S = \rho_{\text{ж}} g S (h_2 - h_1) = \rho_{\text{ж}} g V.$

Закон Архимеда

На тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (газа) в объёме погружённой части тела:

$F_A = \rho_{\text{ж}} \, g \, V_{\text{погр}}.$

Обратите внимание, от чего $F_A$ не зависит: от плотности тела, его массы, формы и глубины погружения (если тело целиком под водой). Зависит — только от плотности жидкости и объёма погружённой части.

Как измерить архимедову силу: взвесить тело динамометром в воздухе, затем в воде. Разность показаний и есть $F_A$ :

$F_A = P_{\text{возд}} - P_{\text{вода}}.$

Разобранный пример 1

Какая выталкивающая сила действует на камень объёмом $0{,}002$ м³, полностью погружённый в воду ( $g = 10$ Н/кг)?

$F_A = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}002 = 20$ Н. Камень как будто «похудел» на 20 Н — ровно столько весит вытесненная им вода (2 литра).

Разобранный пример 2

Тело весит в воздухе 27 Н, а в воде — 17 Н. Найдите объём и плотность тела.

$F_A = 27 - 17 = 10$ Н.
$V = \dfrac{F_A}{\rho_{\text{в}} g} = \dfrac{10}{1000 \cdot 10} = 0{,}001$ м³.
Масса: $m = 27 : 10 = 2{,}7$ кг; плотность $\rho = 2{,}7 : 0{,}001 = 2700$ кг/м³ — алюминий.

Условия плавания тел

На тело в жидкости действуют сила тяжести $F_{\text{т}} = \rho_{\text{тела}} g V$ (вниз) и архимедова сила $F_A = \rho_{\text{ж}} g V$ (вверх). Сравним их, когда тело целиком в жидкости:

Соотношение сил	Соотношение плотностей	Что происходит
$F_{\text{т}} > F_A$	$\rho_{\text{тела}} > \rho_{\text{ж}}$	тело тонет
$F_{\text{т}} = F_A$	$\rho_{\text{тела}} = \rho_{\text{ж}}$	плавает внутри жидкости на любой глубине
$F_{\text{т}} < F_A$	$\rho_{\text{тела}} < \rho_{\text{ж}}$	всплывает и плавает на поверхности, погрузившись частично

Если тело плавает на поверхности, то $F_A = F_{\text{т}}$ , и доля погружённого объёма равна отношению плотностей:

$\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_{\text{тела}}}{\rho_{\text{ж}}}.$

Поэтому у айсберга под водой около 90 % объёма ( $900 : 1000$ ), а в Мёртвом море (плотность воды около 1240 кг/м³) человек лежит на воде, как на матрасе.

Разобранный пример 3

Сосновый брусок ( $\rho = 400$ кг/м³) плавает в воде. Какая часть его объёма над водой?

Под водой $400 : 1000 = 0{,}4$ объёма, над водой — $0{,}6$ , то есть 60 %.

Плавание судов

Корабль из стали плавает, потому что внутри него много воздуха: средняя плотность корпуса меньше плотности воды. Корабль погружается, пока вес вытесненной воды не станет равен его весу.

Ватерлиния — линия, до которой судно погружается при наибольшей допустимой загрузке.
Водоизмещение — вес воды, вытесняемой судном при погружении до ватерлинии; оно равно весу судна вместе с грузом.

Подводная лодка меняет свою среднюю плотность: заполняет балластные цистерны водой, чтобы погрузиться, и продувает их сжатым воздухом, чтобы всплыть. Так же поступают рыбы, меняя объём плавательного пузыря.

Воздухоплавание

Закон Архимеда справедлив и для газов. Воздушный шар поднимается, пока его средняя плотность (газ + оболочка + груз) меньше плотности окружающего воздуха. Шары наполняют гелием, водородом или горячим воздухом (он менее плотный, чем холодный). Подъёмная сила шара:

$F_{\text{под}} = F_A - F_{\text{т, газа}} = (\rho_{\text{возд}} - \rho_{\text{газа}}) \, g \, V.$

С высотой плотность воздуха уменьшается, архимедова сила падает, и шар перестаёт подниматься на определённой высоте. Первый полёт людей на воздушном шаре совершили в 1783 году во Франции на монгольфьере братьев Монгольфье.

Разобранный пример 4

Какой груз может поднять шар объёмом 500 м³ с гелием ( $\rho = 0{,}18$ кг/м³)? Плотность воздуха 1,29 кг/м³, масса оболочки 100 кг.

$F_{\text{под}} = (1{,}29 - 0{,}18) \cdot 10 \cdot 500 = 5550$ Н.
Вес оболочки $1000$ Н; на груз остаётся $4550$ Н, то есть около 455 кг.

История вопроса

По легенде, царь Сиракуз Гиерон заказал золотую корону и заподозрил ювелира в обмане: не подмешано ли серебро? Архимед, погрузившись в ванну, заметил, что вода поднялась, и понял, как измерить объём короны сложной формы. С криком «Эврика!» («Нашёл!») он, как говорят, выбежал на улицу. Зная объём и массу, он нашёл плотность короны — и обман раскрылся.

Типичные ошибки

Подставлять плотность тела вместо плотности жидкости в формулу $F_A$ .
Брать весь объём тела, когда оно погружено частично.
Считать, что сила зависит от глубины: на дне бассейна и у поверхности $F_A$ одинакова.
Путать единицы: объём в литрах надо перевести в м³ ( $1$ л $= 0{,}001$ м³).
Думать, что плавающее тело «ничего не весит»: на него действует сила тяжести, уравновешенная архимедовой силой.

Что дальше

Механическая работа и мощность — механическая работа и мощность.
Статика — в 10 классе: равновесие тел, в том числе плавающих.