Давление в жидкостях и газах. Закон Паскаля

Зачем это нужно

Почему водолазы не могут опускаться глубоко без специального скафандра? Как одним нажатием педали водитель останавливает машину весом в тонну? Почему вода в чайнике и в его носике стоит на одном уровне? Как устроены водопровод, шлюзы и фонтаны? Ответы дают законы давления в жидкостях — гидростатика.

Закон Паскаля

Твёрдое тело передаёт давление только в направлении действия силы. Жидкости и газы ведут себя иначе: их молекулы подвижны, и давление передаётся во все стороны.

Опыт — шар Паскаля: полый шар с множеством дырочек соединён с цилиндром с поршнем. Если наполнить его водой и надавить на поршень, вода брызнет из всех отверстий одинаковыми струйками.

Закон Паскаля: давление, производимое на жидкость или газ, передаётся в любую точку без изменения во всех направлениях.

На законе Паскаля основано надувание шаров и шин (воздух давит одинаково во все стороны, и шар становится круглым), гидравлические тормоза, домкраты, прессы.

Давление жидкости на дно и стенки сосуда

Жидкость давит на дно и стенки сосуда из-за своего веса. Верхние слои давят на нижние, поэтому давление растёт с глубиной. Найдём его для столба жидкости высотой $h$ с площадью основания $S$ :

$p = \frac{F}{S} = \frac{mg}{S} = \frac{\rho V g}{S} = \frac{\rho S h g}{S} = \rho g h.$

Гидростатическое давление:

$p = \rho g h,$

где $\rho$ — плотность жидкости, $h$ — глубина (расстояние по вертикали от поверхности жидкости до данной точки).

Важные следствия:

давление зависит только от плотности жидкости и глубины — и не зависит от формы сосуда и количества жидкости (это называют гидростатическим парадоксом);
на одной глубине давление одинаково во всех направлениях — вверх, вниз, вбок;
в воде давление растёт на 10 кПа на каждый метр глубины ( $1000 \cdot 10 \cdot 1 = 10\,000$ Па).

Разобранный пример 1

Найдите давление воды на глубине 25 м (без учёта атмосферы).

$p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 25 = 250\,000$ Па $= 250$ кПа.

Разобранный пример 2

Какой высоты должен быть столб керосина ( $\rho = 800$ кг/м³), чтобы давление на дно было 4 кПа?

$h = \dfrac{p}{\rho g} = \dfrac{4000}{800 \cdot 10} = 0{,}5$ м.

Сообщающиеся сосуды

Сообщающиеся сосуды — сосуды, соединённые между собой ниже уровня жидкости: чайник и его носик, лейка, U-образная трубка.

Свойство: в сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне — независимо от формы и сечения сосудов. Причина: иначе давления на одной глубине были бы разными, и жидкость перетекала бы.

Если в сосудах разные жидкости, то уровень жидкости с меньшей плотностью выше: $\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$ .

Применение: водопровод и водонапорная башня, шлюзы на реках, фонтаны, водомерное стекло парового котла, гидравлический уровень у строителей.

Гидравлический пресс

Два сообщающихся цилиндра разного сечения закрыты поршнями. Давление под поршнями по закону Паскаля одинаково:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \quad \Rightarrow \quad \frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}.$

Гидравлический пресс: малый поршень площадью S₁ и большой площадью S₂ на сообщающихся цилиндрах с маслом; на малый действует сила F₁, большой развивает силу F₂

Пресс даёт выигрыш в силе во столько раз, во сколько площадь большого поршня больше площади малого. Но выигрыша в работе нет: малый поршень проходит во столько же раз больший путь.

Разобранный пример 3

Площади поршней пресса 5 см² и 500 см². На малый поршень действует сила 200 Н. Какую силу развивает большой поршень?

Выигрыш в силе: $500 : 5 = 100$ раз.
$F_2 = 200 \cdot 100 = 20\,000$ Н $= 20$ кН.

История вопроса: бочка Паскаля

Блез Паскаль (1623–1662) — французский математик, физик и философ. Чтобы убедить сомневающихся в том, что давление жидкости зависит от высоты столба, а не от её количества, он, по преданию, провёл эффектный опыт. В плотно закрытую бочку, полную воды, вставили длинную узкую трубку высотой несколько метров. Паскаль поднялся на балкон и вылил в трубку всего одну кружку воды. Столб воды в трубке получился высоким, давление внутри бочки резко выросло — и бочку разорвало.

Давление в глубинах

На глубине 10 м давление воды около 100 кПа — примерно столько же, сколько давит вся атмосфера. Поэтому ныряльщики чувствуют боль в ушах уже на глубине нескольких метров.
Аквалангисты-любители спускаются до 40 м, где давление воды около 400 кПа.
Подводные лодки погружаются на сотни метров: их корпус выдерживает давление в несколько мегапаскалей.
На дне Марианской впадины (около 11 км) давление более 100 МПа. В 1960 году туда опустился батискаф «Триест» со стальной гондолой толщиной 12,7 см.

Глубоководные рыбы не раздавлены, потому что давление внутри их тела равно давлению воды снаружи.

Типичные ошибки

Подставлять в $p = \rho g h$ высоту сосуда, а не глубину точки под поверхностью.
Считать, что давление на дно зависит от формы сосуда или массы налитой жидкости.
Забывать, что на одной глубине давление одинаково во все стороны.
Думать, что гидравлический пресс даёт выигрыш в работе.
Путать: в сообщающихся сосудах на одном уровне стоит однородная жидкость, разные — нет.

Что дальше

Атмосферное давление — давление воздушной оболочки Земли и как его измеряют.
Архимедова сила. Плавание тел — разница давлений на верх и низ тела создаёт выталкивающую силу.
Механика жидкостей и основы аэродинамики — движущиеся жидкости и газы, закон Бернулли.