Механическая работа и мощность

Зачем это нужно

В обычной речи «работой» называют любой труд: и решение задач, и чтение книги. В физике у слова строгий смысл: работа совершается, когда сила перемещает тело. Это понятие нужно, чтобы сравнивать двигатели, подъёмные краны, мышцы человека и животных, рассчитывать расход топлива и электроэнергии. А мощность показывает, как быстро совершается работа: недаром мощность двигателя автомобиля указывают в каждом техпаспорте.

Механическая работа

Механическая работа совершается, если на тело действует сила и тело перемещается под её действием. Если сила постоянна и направлена вдоль перемещения:

$A = F \cdot s,$

где $F$ — сила, $s$ — путь, пройденный телом в направлении силы.

Единица работы в СИ — джоуль (Дж), в честь английского физика Джеймса Джоуля:

$1 \text{ Дж} = 1 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м}.$

1 Дж — это работа, которую совершает сила 1 Н, перемещая тело на 1 м: примерно столько работы нужно, чтобы поднять яблоко массой 100 г на высоту 1 м. Кратные единицы: $1 \text{ кДж} = 1000$ Дж, $1 \text{ МДж} = 1\,000\,000$ Дж.

Когда работа равна нулю, а когда отрицательна

Работа силы равна нулю, если:

1. нет перемещения — штангист держит штангу над головой, человек давит на стену;
2. сила перпендикулярна перемещению — сила тяжести не совершает работы, когда шар катится по горизонтальному столу; рука, держащая сумку, не совершает работы при равномерной ходьбе по ровному полу;
3. сил нет — тело движется по инерции.

Работа отрицательна, если сила направлена против перемещения: например, сила трения при торможении санок совершает отрицательную работу $A = -F_{\text{тр}} s$.

Работа силы тяжести

При подъёме тела на высоту $h$ равномерно нужно приложить силу, равную силе тяжести, поэтому

$A = m g h.$

При падении тела с высоты $h$ сила тяжести совершает такую же положительную работу. Работа силы тяжести не зависит от формы пути — только от разности высот.

Разобранный пример 1

Какую работу совершает подъёмный кран, поднимая бетонную плиту массой 2 т на высоту 15 м ($g = 10$ Н/кг)?

1. $F = mg = 2000 \cdot 10 = 20\,000$ Н.
2. $A = F h = 20\,000 \cdot 15 = 300\,000$ Дж $= 300$ кДж.

Разобранный пример 2

Ученик массой 50 кг поднялся по лестнице на третий этаж (высота 8 м). Какую работу он совершил против силы тяжести?

$A = mgh = 50 \cdot 10 \cdot 8 = 4000$ Дж $= 4$ кДж.

Мощность

Одну и ту же работу можно совершить быстро или медленно. Мощность — физическая величина, равная отношению работы ко времени, за которое она совершена:

$N = \frac{A}{t}.$

Мощность показывает, какую работу совершают за единицу времени. Единица мощности — ватт (Вт), в честь Джеймса Уатта, изобретателя паровой машины:

$1 \text{ Вт} = 1 \ \frac{\text{Дж}}{\text{с}}, \qquad 1 \text{ кВт} = 1000 \text{ Вт}, \qquad 1 \text{ МВт} = 1\,000\,000 \text{ Вт}.$

Старая единица «лошадиная сила»: $1 \text{ л. с.} \approx 736$ Вт. Её до сих пор используют для автомобилей.

Из формулы мощности: $A = N t$ и $t = A / N$.

Разобранный пример 3

Насос за 10 мин поднимает 6 м³ воды на высоту 20 м. Найдите его мощность.

1. Масса воды: $m = 1000 \cdot 6 = 6000$ кг.
2. Работа: $A = mgh = 6000 \cdot 10 \cdot 20 = 1\,200\,000$ Дж.
3. Время: $t = 600$ с.
4. $N = 1\,200\,000 : 600 = 2000$ Вт $= 2$ кВт.

Разобранный пример 4

Двигатель мощностью 1,5 кВт работал 2 мин. Какую работу он совершил?

$A = N t = 1500 \cdot 120 = 180\,000$ Дж $= 180$ кДж.

Мощность и скорость

При равномерном движении под действием силы тяги $F$ удобно выразить мощность через скорость:

$N = \frac{A}{t} = \frac{F s}{t} = F v.$

Отсюда понятно, почему автомобиль на подъёме переключают на пониженную передачу: при той же мощности двигателя меньшая скорость позволяет получить большую силу тяги. Так же поступает велосипедист, въезжая в гору.

История единиц

Джеймс Уатт, усовершенствовавший паровую машину в конце XVIII века, хотел объяснить покупателям, сколько лошадей заменит его машина. Он измерил, какую работу лошадь совершает за минуту на шахтном вороте, и ввёл «лошадиную силу». Позже в честь самого Уатта назвали единицу мощности СИ.

Типичные ошибки

• Считать, что работа совершается, когда человек просто держит груз. Нет перемещения — нет механической работы.
• Подставлять в $A = mgh$ массу в граммах или высоту в сантиметрах.
• Путать мощность и работу: двигатель большой мощности не обязательно совершил большую работу — он мог работать недолго.
• Переводить минуты в секунды, умножая на 100, а не на 60.
• Забывать, что работа силы, перпендикулярной перемещению, равна нулю.

Что дальше

• Простые механизмы. Момент силы. КПД — как рычаги и блоки дают выигрыш в силе, но не в работе.
• Механическая энергия — энергия как способность совершить работу.
• Работа и мощность тока. Закон Джоуля–Ленца — работа и мощность электрического тока.