Статика

Зачем это нужно

Мосты, краны, полки, лестницы, человеческий скелет — всё это должно стоять неподвижно под действием многих сил. Раздел механики, изучающий условия равновесия тел, называется статикой. Инженер-строитель рассчитывает, выдержит ли балка нагрузку; врач-ортопед — какая сила действует на позвоночник при подъёме сумки; крановщик — не опрокинется ли кран. В 7 классе вы познакомились с рычагом и моментом силы; теперь соберём всё в общую теорию равновесия твёрдого тела.

Модель: абсолютно твёрдое тело

В статике тело считают абсолютно твёрдым: расстояния между его точками не меняются. В отличие от материальной точки, у такого тела важны размеры: сила, приложенная в разных местах, действует по-разному. Толкните дверь у петель и у ручки — результат разный, хотя сила одна и та же.

Момент силы

Плечо силы $d$ — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (перпендикуляр, а не расстояние до точки приложения!).

Момент силы относительно оси:

$M = F d.$

Единица — ньютон-метр (Н·м). Момент считают положительным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, и отрицательным — если по часовой (знак можно выбрать и наоборот, важно быть последовательным). Если сила направлена под углом $\alpha$ к рычагу длиной $r$, то $d = r \sin\alpha$ и $M = F r \sin\alpha$. Сила, линия действия которой проходит через ось, момента не создаёт.

Два условия равновесия

Тело находится в равновесии (покоится или движется равномерно и поступательно), если выполнены оба условия:

1. Сумма сил равна нулю — тело не начинает двигаться поступательно: $\vec F_1 + \vec F_2 + \ldots + \vec F_n = \vec 0.$
2. Сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю — тело не начинает вращаться: $M_1 + M_2 + \ldots + M_n = 0.$

Первое условие — следствие второго закона Ньютона для центра масс. Второе — правило моментов (правило рычага Архимеда), обобщённое на любые тела. Важная практическая хитрость: если первое условие выполнено, то ось для моментов можно выбрать где угодно. Выгодно брать её в точке, через которую проходят неизвестные силы: их моменты обратятся в ноль, и в уравнении останется одна неизвестная.

Разобранный пример 1

Балка длиной 4 м и массой 20 кг лежит на двух опорах по концам. На расстоянии 1 м от левого конца стоит груз 60 кг. Найдите силы давления на опоры ($g = 10$ м/с²).

1. Ось — через левую опору, тогда $N_1$ момента не создаёт.
2. Моменты: $N_2 \cdot 4 = 200 \cdot 2 + 600 \cdot 1 = 1000$, откуда $N_2 = 250$ Н.
3. Сумма сил: $N_1 = 200 + 600 - 250 = 550$ Н.

Ответ: 550 Н и 250 Н. Проверка: левая опора ближе к грузу и нагружена сильнее.

Разобранный пример 2

Фонарь массой 10 кг подвешен посередине троса, обе половины которого образуют с горизонтом угол $30^\circ$. Найдите силу натяжения троса.

1. Горизонтальные проекции натяжений компенсируют друг друга.
2. Вертикальные: $2T \sin 30^\circ = mg$, то есть $T = 100$ Н.

Интересно, что натяжение равно весу фонаря. Чем сильнее натянут трос (меньше угол), тем больше $T$: при угле $5^\circ$ натяжение уже около 570 Н. Поэтому провода никогда не натягивают «в струнку».

Разобранный пример 3

Лестница прислонена к гладкой стене под углом $60^\circ$ к полу. При каком наименьшем коэффициенте трения о пол она не соскользнёт?

1. Силы: тяжесть $mg$ в середине, реакция пола $N$, трение о пол $F_{тр}$, реакция стены $N_с$ (горизонтальна — стена гладкая).
2. Силы: $N = mg$, $F_{тр} = N_с$.
3. Моменты относительно нижнего конца: $N_с \cdot L \sin 60^\circ = mg \cdot \frac{L}{2} \cos 60^\circ$, откуда $N_с = \frac{mg}{2 \tan 60^\circ}$.
4. Условие $F_{тр} \le \mu N$: $\mu \ge \frac{1}{2 \tan 60^\circ} \approx 0{,}29$.

Центр тяжести

Центр тяжести — точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести всех частей тела при любом его положении. В однородном поле тяжести он совпадает с центром масс. У однородных симметричных тел — в центре симметрии: у стержня — в середине, у диска — в центре, у треугольной пластинки — в точке пересечения медиан.

Для системы точечных масс координата центра масс:

$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots}{m_1 + m_2 + \ldots}.$

Разобранный пример 4

Гантель: шар 1 кг в точке $x = 0$ и шар 3 кг в точке $x = 0{,}4$ м, стержень лёгкий. Где центр масс?

$x_c = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 0{,}4}{4} = 0{,}3$ м — ближе к тяжёлому шару.

Центр тяжести плоской фигуры можно найти опытом: подвесить её последовательно за две точки и провести отвесные линии — они пересекутся в центре тяжести.

Виды равновесия

• Устойчивое — при малом отклонении тело возвращается (шарик на дне ямки). Центр тяжести при отклонении поднимается, потенциальная энергия минимальна.
• Неустойчивое — тело уходит дальше (шарик на вершине горки). Центр тяжести опускается, энергия максимальна.
• Безразличное — тело остаётся в новом положении (шарик на ровном столе). Высота центра тяжести не меняется.

Тело на опоре устойчиво, пока вертикаль, проведённая через центр тяжести, проходит внутри площади опоры. Чем ниже центр тяжести и шире опора, тем устойчивее тело: поэтому у кранов тяжёлый противовес, у гоночных машин низкая посадка, а канатоходец держит длинный шест.

Как решать задачи статики

1. Нарисовать тело и все силы, приложенные в своих точках.
2. Записать сумму сил в проекциях на оси.
3. Выбрать ось моментов там, где приложены неизвестные силы, и записать правило моментов.
4. Решить систему, проверить ответ на правдоподобие.

Немного истории

Основы статики заложил Архимед (III век до н. э.): он сформулировал правило рычага и нашёл центры тяжести многих фигур. Ему приписывают слова «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю». В XVI веке Симон Стевин доказал правило сложения сил с помощью знаменитой «цепочки на призме», а в XVII–XVIII веках статика стала частью общей механики Ньютона и Лагранжа.

Типичные ошибки

• Считать плечом расстояние до точки приложения силы, а не до линии её действия.
• Забывать силу тяжести самой балки или лестницы.
• Проверять только первое условие равновесия, забыв о моментах.
• Путать знаки моментов (по часовой и против).
• Выбирать ось неудачно — так, что в уравнение попадают все неизвестные сразу.

Что дальше

• Механика жидкостей и основы аэродинамики — механика жидкостей и газов.
• Энергия колебаний и резонанс — колебания около положения устойчивого равновесия.