Свободное падение. Всемирное тяготение. Движение по окружности

Зачем это нужно

Почему яблоко падает на Землю, а Луна — нет? Ньютон понял, что это одно и то же явление: Луна тоже «падает» на Землю, но так быстро летит вбок, что постоянно промахивается. В этой теме соединяются свободное падение, закон всемирного тяготения и движение по окружности. На этих знаниях держится вся космонавтика: запуск спутников, полёты к Луне и планетам, навигация GPS и ГЛОНАСС.

Свободное падение

Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести. В вакууме все тела падают с одинаковым ускорением — это показал опыт с трубкой Ньютона, где перо и дробинка падают вместе. У поверхности Земли

$g \approx 9{,}8 \text{ м/с}^2 \ (\text{в задачах часто } 10 \text{ м/с}^2).$

Это равноускоренное движение, поэтому работают формулы кинематики. Из покоя: $v = g t$, $h = \frac{g t^2}{2}$. Для тела, брошенного вверх со скоростью $v_0$: время подъёма $t = \frac{v_0}{g}$, максимальная высота $h = \frac{v_0^2}{2g}$; вниз тело летит столько же времени и возвращается с той же скоростью.

Разобранный пример 1

Камень падает в колодец и через 3 с ударяется о воду. Найдите глубину колодца и скорость в момент удара ($g = 10$ м/с²).

$h = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ м, $v = 10 \cdot 3 = 30$ м/с. (Время, за которое звук возвращается наверх, здесь не учитываем.)

Разобранный пример 2

Мяч брошен вверх со скоростью 20 м/с. На какую высоту он поднимется и через сколько секунд упадёт?

$h = \frac{400}{20} = 20$ м; подъём занимает $2$ с, весь полёт — $4$ с.

Закон всемирного тяготения

Любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, \qquad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \ \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}.$

Постоянная $G$ очень мала. Два человека по 70 кг на расстоянии 1 м притягиваются с силой порядка $3 \cdot 10^{-7}$ Н, и заметить её нельзя. Но для планет и звёзд с гигантскими массами тяготение — главная сила. Её впервые измерил в лаборатории Генри Кавендиш в 1798 году с помощью крутильных весов.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты массой $M$ и радиусом $R$: $g = G\frac{M}{R^2}$. На Луне $g \approx 1{,}6$ м/с², на Марсе — около $3{,}7$ м/с². С высотой $g$ уменьшается: на высоте, равной радиусу Земли, оно в 4 раза меньше.

Разобранный пример 4

Во сколько раз сила притяжения спутника к Земле на высоте $3R$ над поверхностью меньше, чем на поверхности?

1. Расстояние до центра Земли: $R + 3R = 4R$.
2. Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: $\frac{F_0}{F} = \left(\frac{4R}{R}\right)^2 = 16$.

Движение по окружности

При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но направление меняется, поэтому ускорение есть. Оно направлено к центру и называется центростремительным:

$a = \frac{v^2}{R}, \qquad v = \frac{2\pi R}{T} = 2\pi R \nu,$

где $T$ — период (время одного оборота), $\nu = \frac{1}{T}$ — частота. По второму закону Ньютона ускорение создаёт сила, направленная к центру: натяжение нити, трение шин о дорогу на повороте, тяготение для планет.

Разобранный пример 3

Автомобиль проходит поворот радиусом 50 м со скоростью 36 км/ч. Найдите центростремительное ускорение.

$v = 10$ м/с, $a = \frac{100}{50} = 2$ м/с².

Искусственные спутники

Для спутника на низкой орбите сила тяжести создаёт центростремительное ускорение: $\frac{v^2}{R} = g$. Отсюда первая космическая скорость:

$v_1 = \sqrt{g R} = \sqrt{9{,}8 \cdot 6{,}4 \cdot 10^6} \approx 7{,}9 \text{ км/с}.$

Сам спутник и всё, что находится внутри него, движутся только под действием тяготения — поэтому космонавты находятся в невесомости, хотя сила тяжести на высоте МКС (около 400 км) лишь на 10 % меньше, чем на Земле. МКС делает оборот примерно за 92 минуты.

Немного истории

По легенде, Галилей бросал шары с Пизанской башни, опровергая Аристотеля. Ньютон в «Началах» (1687) вывел закон тяготения из законов Кеплера и нарисовал «пушку на горе». Первый искусственный спутник Земли запущен в СССР 4 октября 1957 года, а 12 апреля 1961 года Юрий Гагарин облетел Землю за 108 минут.

Типичные ошибки

• Думать, что тяжёлые тела падают быстрее. В вакууме все падают одинаково, разница в воздухе — из-за сопротивления.
• Считать, что при движении по окружности с постоянной скоростью ускорения нет.
• Подставлять в закон тяготения расстояние до поверхности, а не между центрами.
• Думать, что в космосе нет силы тяжести. Невесомость — это свободное падение, а не отсутствие тяготения.
• Путать период и частоту.

Что дальше

• Импульс. Закон сохранения импульса — импульс и реактивное движение ракет.
• Строение и эволюция Вселенной — строение Солнечной системы и Вселенной.