Законы Ньютона

Зачем это нужно

Кинематика отвечает на вопрос «как движется тело», а динамика — «почему». Три закона Ньютона связывают движение тел с силами, которые на них действуют. С их помощью рассчитывают мосты и лифты, двигатели ракет и тормоза автомобилей, орбиты планет и спутников. Почти любую задачу механики можно решить, если правильно применить эти три закона.

Первый закон Ньютона (закон инерции)

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно или покоится, если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

Свойство тел сохранять скорость называется инерцией. Пассажиры «падают» вперёд при резком торможении автобуса: их тела продолжают двигаться по инерции. Система отсчёта, связанная с Землёй, приближённо инерциальна. Тормозящий автобус — нет: в нём тела «сами» начинают двигаться без видимой причины.

Второй закон Ньютона

Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к нему сил и обратно пропорционально его массе:

$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}, \qquad \text{или} \qquad \vec{F} = m\vec{a}.$

• Ускорение направлено так же, как равнодействующая сила, а не обязательно по скорости.
• Масса — мера инертности: чем больше масса, тем труднее изменить скорость.
• $1$ Н — сила, сообщающая телу массой $1$ кг ускорение $1$ м/с².
• Равнодействующая — векторная сумма всех сил. Если она равна нулю, ускорения нет (это и есть первый закон).

Разобранный пример 1

На тело массой 2 кг действуют силы 10 Н вправо и 4 Н влево. Найдите ускорение.

$F = 10 - 4 = 6$ Н (вправо), $a = \frac{6}{2} = 3$ м/с² вправо.

Разобранный пример 2

Брусок массой 5 кг тянут по столу с силой 20 Н. Коэффициент трения 0,2. Найдите ускорение ($g = 10$ м/с²).

1. Сила трения: $F_{\text{тр}} = \mu m g = 0{,}2 \cdot 5 \cdot 10 = 10$ Н.
2. Равнодействующая: $20 - 10 = 10$ Н.
3. $a = \frac{10}{5} = 2$ м/с².

Третий закон Ньютона

Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению:

$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}.$

Эти силы:

• приложены к разным телам, поэтому не компенсируют друг друга;
• одной природы (обе — силы упругости, обе — гравитационные и т. д.);
• возникают и исчезают одновременно.

Парадокс «лошадь и телега»: если телега тянет лошадь назад с той же силой, почему они едут? Потому что на лошадь действует ещё сила трения со стороны дороги (лошадь отталкивается копытами), и она больше силы натяжения. Движение каждого тела определяется силами, приложенными к нему.

Разобранный пример 3

Фигуристы массами 50 кг и 75 кг отталкиваются друг от друга. Чьё ускорение больше и во сколько раз?

Силы равны, $a = \frac{F}{m}$, поэтому $\frac{a_1}{a_2} = \frac{75}{50} = 1{,}5$. Лёгкий фигурист получает ускорение в 1,5 раза больше.

Вес тела в лифте

Вес — сила, с которой тело давит на опору. Если лифт разгоняется вверх с ускорением $a$, то по второму закону $N - mg = ma$, и вес $P = N = m(g + a)$. При ускорении вниз $P = m(g - a)$, а при свободном падении ($a = g$) вес равен нулю — это невесомость.

Разобранный пример 4

Человек массой 60 кг стоит в лифте, который разгоняется вверх с ускорением 2 м/с². Найдите вес.

$P = 60 \cdot (10 + 2) = 720$ Н — на 120 Н больше, чем в покое.

Как решать задачи динамики

1. Сделайте рисунок, покажите все силы, действующие на тело.
2. Выберите оси (обычно одну — вдоль ускорения).
3. Запишите второй закон в проекциях: $ma = F_1 + F_2 + \ldots$ с учётом знаков.
4. Выразите неизвестное, при необходимости используйте формулы кинематики.

Немного истории

Исаак Ньютон сформулировал три закона в книге «Математические начала натуральной философии» (1687). Закон инерции до него открыл Галилей, опровергнув мнение Аристотеля о том, что для движения нужна постоянная сила. В честь Ньютона названа единица силы — ньютон.

Типичные ошибки

• Считать, что для движения нужна сила. Сила нужна для изменения скорости.
• Складывать силы действия и противодействия: они приложены к разным телам.
• Думать, что ускорение всегда направлено по скорости. При торможении оно направлено против скорости.
• Путать массу (кг) и вес (Н).
• Забывать про силу трения или силу тяжести на рисунке.

Что дальше

• Свободное падение. Всемирное тяготение. Движение по окружности — сила всемирного тяготения и движение по окружности.
• Импульс. Закон сохранения импульса — импульс: второй закон в форме $F \Delta t = \Delta p$.
• Законы Ньютона в векторной форме — законы Ньютона в векторной форме.